结论：公司能否在警告兼职员工后开除该员工，取决于多个因素，包括兼职行为是否违反公司规章制度、是否构成严重违反劳动纪律或用人单位规章制度，以及公司开除员工的程序是否合法等。以下从不同角度进行分析：

一、兼职行为是否违反公司规章制度

1. 若兼职行为违反公司明确规章制度：

   • 如果公司在规章制度中明确规定了禁止员工兼职，或者对兼职行为有具体的限制和处罚措施，且这些规章制度已经通过合法程序告知员工（如员工手册签字确认、培训记录等），那么员工违反这些规定，公司有权依据规章制度进行处罚，包括警告、记过、降薪、解雇等。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。

2. 若兼职行为未违反公司规章制度：

   • 如果公司没有明确的规章制度禁止员工兼职，或者兼职行为并未违反公司现有的规章制度，那么公司仅凭兼职行为本身可能难以直接开除员工。

二、兼职行为是否构成严重违反劳动纪律或用人单位规章制度

1. 构成严重违反的情况：

   • 即使公司规章制度中没有明确禁止兼职，但如果兼职行为严重影响了员工的工作表现，如频繁缺勤、工作质量下降、泄露公司机密等，且这些行为构成了严重违反劳动纪律或用人单位规章制度，公司也有权解除劳动合同。
   • 法律依据：同样依据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。

2. 不构成严重违反的情况：

   • 如果兼职行为并未对员工的工作表现产生严重影响，或者虽然有一定影响但并未达到严重违反劳动纪律或用人单位规章制度的程度，公司则不能仅凭此开除员工。

三、公司开除员工的程序是否合法

1. 合法程序：

   • 公司在开除员工前，应当确保已经履行了合法的程序，如事先通知工会（如有）、告知员工解除劳动合同的理由、听取员工的陈述和申辩等。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。

2. 非法程序：

   • 如果公司未履行合法程序就开除员工，即使员工存在兼职行为且该行为违反了公司规章制度或劳动纪律，公司的开除决定也可能因程序违法而被认定为无效。

建议

• 对于员工：如果你在公司做兼职被警告，首先应当了解公司的规章制度和劳动纪律，确认自己的兼职行为是否违反了相关规定。如果确实违反了，且公司有权依据规章制度进行处罚，那么你应当接受处罚并改正行为。如果你认为公司的处罚决定不合法或不合理，可以与公司协商或向劳动争议调解委员会申请调解，甚至向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
• 对于公司：在开除兼职员工前，应当确保已经履行了合法的程序，并确认员工的兼职行为确实构成了严重违反公司规章制度或劳动纪律。否则，公司的开除决定可能面临法律风险。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。