结论：嫖娼被抓后，公司是否有权开除员工，主要取决于公司规章制度的规定以及该行为的性质和影响。若公司规章制度明确规定嫖娼等行政违法行为属于严重违反规章制度的情形，并且这些规章制度已经过民主程序制定并公示告知员工，则公司有权依据规章制度合法解除与员工的劳动关系；否则，公司直接开除员工可能构成违法解除劳动合同，需支付经济赔偿金。
详细分析：
公司规章制度的角度：
- 公司规章制度是公司管理员工的重要依据。如果公司在规章制度中明确规定了嫖娼等行政违法行为属于严重违反规章制度的情形，并且这些规章制度已经过民主程序制定（如经过职工代表大会或全体职工讨论，与工会或职工代表平等协商确定）并向员工公示告知，那么公司可以依据这些规章制度合法地解除与员工的劳动关系。
- 例如，某公司规章制度中明确规定：“员工有嫖娼等违法行为的，视为严重违反公司规章制度，公司有权立即解除劳动合同。”在此情况下，如果员工因嫖娼被抓，公司就有权依据该规定开除员工。
劳动法的角度：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司不能仅因员工受到行政处罚（如嫖娼被罚款）而直接开除员工。只有当员工的行为严重违反公司规章制度，或者构成刑事犯罪时，公司才有权与其解除劳动合同。
- 如果公司规章制度未提及嫖娼等行政违法行为，或者规章制度的制定程序存在瑕疵（如未经民主程序、未向员工公示等），公司直接以员工嫖娼被罚款为由开除员工，可能构成违法解除劳动合同。在这种情况下，员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿标准的二倍。
公司形象与利益的角度：
- 嫖娼行为不仅违法，而且可能严重损害公司的声誉和形象。因此，即使公司规章制度中没有明确规定嫖娼为严重违反规章制度的情形，公司也可能基于维护企业形象的考虑而采取相应的管理措施，如警告、调岗、降薪等。但这些措施应在法律允许的范围内，并确保不侵犯员工的合法权益。
建议：
对于公司：
- 首先审查自身规章制度是否完善，是否明确规定了嫖娼等行政违法行为的处理方式；
- 在处理员工嫖娼问题时，应严格遵守法律法规和公司规章制度；
- 如需开除员工，应确保有充分的法律依据和事实依据，并遵循合法的解除程序；
- 可以加强员工的法制教育和职业道德培训，预防类似事件的再次发生。
对于员工：
- 应自觉遵守法律法规和公司规章制度，避免参与嫖娼等违法行为；
- 如果因嫖娼被抓并面临公司开除的风险，可以首先查看公司规章制度中是否有相关规定；
- 如果认为公司的开除决定违法或不合理，可以寻求法律援助或向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。
法律依据：
- 《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条：卖淫、嫖娼的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条：劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：……（二）严重违反用人单位的规章制度的；……（六）被依法追究刑事责任的。
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