结论：休息期间做兼职，公司是否可以开除员工，这并非一个绝对的问题，而是取决于多种因素，包括兼职是否违反公司规章制度、是否影响本职工作、是否构成竞业限制等。下面我将从不同角度详细分析这个问题。

1. 公司规章制度的角度：

   • 如果公司的规章制度中明确规定了员工在休息期间不得从事兼职工作，或者兼职工作需要事先获得公司的批准，而员工未遵守这些规定，那么公司有权依据规章制度对员工进行处罚，包括开除。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。

2. 影响本职工作的角度：

   • 如果员工在休息期间从事的兼职工作影响了其本职工作的完成，或者导致工作质量下降，公司有权认为员工未能履行其工作职责，从而考虑开除。
   • 实际情况：这种情况下，公司需要证明兼职工作确实对员工本职工作产生了负面影响，这通常需要通过具体的证据来支持，如工作表现评估、同事或客户的反馈等。

3. 竞业限制的角度：

   • 如果员工从事的兼职工作与公司存在竞争关系，或者违反了与公司签订的竞业限制协议，公司有权依据协议或法律规定对员工进行处罚，包括开除。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第二十三条，对负有保密义务的劳动者，用人单位可以在劳动合同或者保密协议中与劳动者约定竞业限制条款，并约定在解除或者终止劳动合同后，在竞业限制期限内按月给予劳动者经济补偿。劳动者违反竞业限制约定的，应当按照约定向用人单位支付违约金。若兼职行为构成对竞业限制的违反，公司可据此解除劳动合同。

4. 其他合法理由的角度：

   • 除了上述情况外，如果公司能够证明员工从事兼职工作存在其他合法理由可以开除的情形，如兼职工作涉及违法犯罪活动等，公司也有权开除员工。

建议：

• 对于员工而言，在休息期间从事兼职工作前，应仔细阅读公司的规章制度和劳动合同，确保自己的兼职行为不会违反相关规定。
• 如果公司规章制度或劳动合同中没有明确禁止兼职，或者员工认为自己的兼职行为不会影响本职工作，建议与公司进行沟通并获得书面同意，以避免不必要的纠纷。
• 对于公司而言，如果发现员工从事兼职工作且认为这违反了公司规定或影响了本职工作，应首先与员工进行沟通并了解情况，然后根据具体情况和公司规章制度作出合理决策。

后续行动：

• 如果您或您的公司面临类似问题，且情况复杂或存在争议，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议和解决方案。