结论：私自拿公司游戏币第一次开了警告单，第二次再犯是否可以开除，需结合公司规章制度、员工行为性质及后果、劳动合同及法律法规等多方面因素综合判断。以下从不同角度进行分析：
公司规章制度的角度：
- 规章制度内容：首先，需要查看公司的规章制度中是否明确规定了私自拿取公司游戏币的行为属于严重违纪，以及是否规定了相应的处罚措施，包括开除。如果规章制度中有明确规定，且该规定不违反法律法规的强制性规定，那么公司有权依据规章制度对员工进行开除处理。
- 规章制度制定程序：其次，要确认公司的规章制度是否经过民主程序制定，并已向员工公示或告知。如果规章制度未经民主程序制定或未向员工公示，那么该规章制度可能对员工不产生约束力，公司不能仅凭此规章制度开除员工。
员工行为性质及后果的角度：
- 行为性质：私自拿取公司游戏币的行为，可能构成盗窃或侵占公司财物，具体取决于游戏币的性质（如是否属于公司资产）以及员工的主观意图。如果行为性质严重，如涉及金额较大或多次实施，那么公司有权考虑开除员工。
- 行为后果：还需要考虑员工行为给公司造成的实际损失或潜在风险。如果员工行为导致公司遭受重大经济损失或声誉损害，那么公司有权依据相关规定对员工进行严厉处罚，包括开除。
劳动合同及法律法规的角度：
- 劳动合同约定：查看劳动合同中是否约定了员工违反公司规章制度或严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害时，公司有权解除劳动合同。如果劳动合同中有此类约定，且员工行为符合约定情形，那么公司有权开除员工。
- 法律法规规定：根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，员工严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。但需要注意的是，用人单位在解除劳动合同时应当遵循法定程序，如提前通知、听取工会意见等。
建议：
- 对于公司而言，在处理此类事件时，应首先确认公司规章制度是否完善且合法有效，同时收集充分证据证明员工行为符合规章制度中规定的开除情形。在解除劳动合同时，应遵循法定程序，确保解除行为的合法性。
- 对于员工而言，如果认为公司开除行为违法或不合理，可以依法向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，维护自己的合法权益。
后续行动：如果您或公司在此方面遇到具体问题，如规章制度制定、员工行为认定、解除劳动合同程序等，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。