不跟厨师签合同，私人餐饮老板可能会面临以下多方面的影响：

1. 劳动法律责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。若未签订，一旦厨师向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，老板可能需要支付双倍工资作为赔偿（自用工之日起超过一个月不满一年未签订书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资）。
   • 此外，未签订劳动合同还可能影响老板在解除劳动关系时的法律责任承担，如可能需要支付经济补偿金等。

2. 社保缴纳问题：

   • 未签订劳动合同往往也伴随着未依法为厨师缴纳社会保险费的问题。根据《中华人民共和国社会保险法》的规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。
   • 若老板未依法缴纳社保，厨师有权要求补缴，且可能面临社保部门的处罚，包括罚款、滞纳金等。

3. 劳动纠纷风险增加：

   • 没有书面合同作为依据，一旦双方在工作内容、工资待遇、工作时间等方面产生争议，将难以通过合同条款来明确各自的权利和义务，从而增加了劳动纠纷的风险。
   • 在劳动纠纷中，由于缺乏书面证据，老板可能处于不利地位，需要承担更多的举证责任。

4. 影响企业信誉和形象：

   • 不签订劳动合同可能被视为对劳动者权益的不尊重，影响老板在行业内的信誉和形象。
   • 在现代社会，企业信誉和形象对于吸引人才、拓展业务等方面都至关重要。因此，不签订劳动合同可能间接影响老板的商业利益。

建议：

• 及时签订劳动合同：为了降低法律风险，老板应尽快与厨师签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
• 依法缴纳社保：按照法律规定为厨师缴纳社会保险费，保障其合法权益。
• 完善内部管理：建立健全的内部管理制度，包括员工手册、考勤制度、工资支付制度等，以规范用工行为，减少劳动纠纷的发生。

若老板已经面临相关法律问题或担忧潜在风险，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。