结论：被打员工可以依据相关法律规定，向打人者主张人身损害赔偿，同时，如果店里存在安全保障方面的不足，员工也可能有权向店铺主张一定的权利（视具体情况而定）。以下是对此问题的详细分析：
一、被打员工向打人者主张人身损害赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
赔偿项目：
- 医疗费：员工因被打而产生的医疗费用，包括挂号费、检查费、治疗费、药费等。
- 误工费：员工因受伤而无法工作导致的收入损失。
- 护理费：如果员工受伤严重需要护理，产生的护理费用。
- 交通费：员工因治疗而产生的交通费用。
- 营养费：根据员工受伤情况，可能需要额外的营养补充费用。
- 残疾赔偿金或死亡赔偿金：如果员工因被打导致残疾或死亡，打人者还需支付相应的赔偿金。
主张方式：
- 员工可以与打人者协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向法院提起诉讼，要求打人者承担赔偿责任。
二、员工是否可能向店铺主张权利
店铺的安全保障义务：
- 店铺作为经营场所，对进入其场所的人员负有一定的安全保障义务。如果店铺未能尽到安全保障义务，导致员工在店内被打受伤，店铺可能需要承担一定的责任。
店铺责任的具体分析：
- 如果店铺存在明显的安全隐患，如监控缺失、安保人员不足等，且这些隐患与员工被打受伤之间存在因果关系，店铺可能需要承担相应的赔偿责任。
- 如果店铺已经尽到了合理的安全保障义务，如安装了监控、配备了安保人员等，但打人者仍然实施了暴力行为，店铺可能不需要承担赔偿责任或仅承担部分责任。
员工主张权利的方式：
- 如果员工认为店铺存在安全保障方面的不足，可以与店铺协商赔偿事宜。如果协商不成，员工可以向法院提起诉讼，要求店铺承担相应的赔偿责任。但需要注意的是，员工需要提供充分的证据证明店铺存在过错且该过错与自己的受伤之间存在因果关系。
建议：
- 对于被打员工来说，首先应当及时报警并寻求医疗救助，确保自己的生命安全和身体健康。
- 同时，员工应当收集并保存好与受伤相关的所有证据，如医疗记录、监控录像、证人证言等，以便后续主张权利时使用。
- 如果员工对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到保障，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。