结论：修理厂工人没签合同且在请假期间骑车摔坏的情况，主要涉及劳动关系认定、工伤认定及赔偿问题。以下从不同角度进行分析：

一、劳动关系认定

1. 未签合同不影响劳动关系存在：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要双方存在事实劳动关系（如实际提供劳动、接受管理、支付报酬等），即视为建立了劳动关系。
   • 建议：工人可收集工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等证据，证明与修理厂存在事实劳动关系。

2. 未签合同的双倍工资赔偿：

   • 若修理厂未与工人签订书面劳动合同，工人有权要求修理厂支付自用工之日起第二个月至第十二个月的双倍工资（最多十一个月）。
   • 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（最多11个月）。
   • 示例：若工人月工资为5000元，未签合同6个月，则可要求修理厂支付双倍工资差额30000元（5000元 × 6个月，但实际最多按11个月计算，此处仅为示例）。

二、工伤认定及赔偿

1. 请假期间骑车摔坏是否构成工伤：

   • 一般原则：工伤通常指在工作时间内、因工作原因或从事与工作有关的预备性、收尾性工作受到的事故伤害。
   • 请假期间：若工人是在请假期间，且非因工作原因骑车摔坏，一般不构成工伤。
   • 例外情况：若请假是因工作原因（如外出办事途中受伤），或修理厂安排工人请假期间从事特定工作，则可能构成工伤。
   • 建议：工人需收集证据证明受伤与工作有关，如请假条、工作安排记录、医疗证明等。

2. 非工伤情况下的赔偿：

   • 若不构成工伤，工人可根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，向造成其受伤的第三方（如交通事故中的对方车辆）主张赔偿。
   • 赔偿项目：包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。
   • 计算公式（以误工费为例）：误工费 = 误工时间 × 日工资。
   • 示例：若工人因伤误工30天，日工资为200元，则误工费为6000元（30天 × 200元/天）。

3. 修理厂的责任：

   • 若修理厂未为工人缴纳工伤保险（即使未签合同，也应缴纳），且工人构成工伤，修理厂需承担工伤保险待遇的赔偿责任。
   • 若不构成工伤，修理厂一般无需承担赔偿责任，但若存在过错（如安排工人从事危险活动导致受伤），可能需承担部分或全部赔偿责任。

三、综合建议

1. 收集证据：工人应尽快收集与劳动关系、受伤原因相关的证据，以便后续维权。
2. 咨询专业律师：由于工伤认定及赔偿问题复杂，建议工人咨询专业律师，根据具体情况制定维权策略。
3. 协商与诉讼：工人可先与修理厂协商赔偿事宜，若协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。

有问题直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。