偷狗行为立案后，公安机关会依法展开侦查，后续处理方式主要取决于案件性质、证据情况及犯罪情节，具体如下：

1. 刑事案件处理流程
   若偷狗行为涉嫌盗窃罪（根据《刑法》第264条），且达到当地刑事立案标准（如多次盗窃、盗窃数额较大等），公安机关会按刑事程序处理：

   • 侦查阶段：公安机关会调查取证（如监控录像、证人证言、赃物去向等），可能对嫌疑人采取刑事拘留、取保候审等强制措施。
     
   • 审查起诉阶段：若证据充分，案件会移送检察院审查起诉，检察院决定是否提起公诉。
     
   • 审判阶段：法院根据事实和法律判决，若构成犯罪，可能判处有期徒刑、拘役或罚金（具体刑期需结合盗窃数额、情节等，如普通盗窃可能处3年以下有期徒刑，情节严重可能升格处罚）。
     

2. 行政案件处理流程
   若偷狗行为情节较轻（如首次盗窃、数额较小），未达到刑事立案标准，公安机关会按《治安管理处罚法》第49条处理：

   • 行政处罚：一般处5-15日拘留，可并处500-1000元罚款；情节较轻的（如主动退赃、认罪认罚），可能处5日以下拘留或500元以下罚款。
     

3. 特殊情形处理

   • 狗的价值认定：若狗为名贵品种或具有特殊情感价值（如导盲犬、搜救犬），可能按实际价值或情感损失酌情加重处罚。
     
   • 团伙作案或多次盗窃：若涉及多人结伙、多次盗窃，可能被认定为“多次盗窃”或“团伙犯罪”，从重处罚。
     
   • 危害公共安全：若偷狗过程中使用毒药、暴力等手段，可能涉嫌危害公共安全罪（如投放危险物质罪），处罚更严厉。
     

建议：若您或他人涉及此类案件，需积极配合公安机关调查，保留相关证据（如购买凭证、狗的品种证明等），并咨询专业律师分析案件细节，制定应对策略。如有具体问题，可直接向我咨询。