结论：签了劳动关系后到别的地方兼职出了问题，责任归属需根据具体情况来判断，可能涉及兼职单位、劳动者本人或原用人单位（尽管原用人单位直接责任较小，但在特定情况下可能需承担一定责任）。以下是对不同情况的具体分析：
兼职过程中因工作原因受伤：
- 兼职单位责任：如果劳动者在兼职过程中因工作原因受到伤害，且兼职单位存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等），则兼职单位应当承担相应的赔偿责任。这通常涉及到工伤保险责任的认定，如果兼职单位未为劳动者缴纳工伤保险，那么劳动者因工作受伤的医疗费用、伤残津贴等将由兼职单位承担。
- 劳动者本人责任：如果劳动者在兼职过程中因自身原因（如疏忽大意、违反操作规程等）导致受伤，且兼职单位已尽到合理的管理和安全保障义务，那么劳动者可能需要自行承担部分或全部责任。但具体责任划分还需根据实际情况和法律规定来判断。
兼职过程中造成他人损害：
- 兼职单位责任：如果劳动者在兼职过程中因工作原因造成他人损害，且该损害与兼职单位的工作安排、管理或监督有关，那么兼职单位应当承担相应的赔偿责任。这通常涉及到侵权责任法的相关规定。
- 劳动者本人责任：如果劳动者在兼职过程中因个人行为（如故意或重大过失）造成他人损害，且该行为与兼职单位的工作无关，那么劳动者可能需要自行承担赔偿责任。但兼职单位如果未尽到合理的管理和监督义务，也可能需承担一定的补充责任。
原用人单位的责任：
- 一般情况下无直接责任：劳动者与原用人单位签订了劳动关系后到别的地方兼职，原用人单位通常不对劳动者在兼职过程中发生的问题承担直接责任。因为兼职行为是劳动者在业余时间进行的，与原用人单位的工作无直接关联。
- 特定情况下的责任：然而，如果原用人单位对劳动者的兼职行为有明确的禁止或限制规定，且劳动者违反了这些规定导致出现问题，原用人单位可能在一定程度上需承担管理责任。但这种情况较为特殊，且责任划分需根据具体规定和实际情况来判断。
建议：
- 劳动者：在兼职前应了解兼职单位的工作环境、安全保障措施以及工伤保险缴纳情况，确保自身权益得到保障。同时，应遵守兼职单位的工作规定和操作规程，避免因个人原因导致受伤或造成他人损害。
- 兼职单位：应为兼职劳动者提供安全的工作环境、进行必要的安全培训，并依法缴纳工伤保险。在劳动者受伤或造成他人损害时，应积极承担相应的赔偿责任。
- 原用人单位：虽然对劳动者的兼职行为通常无直接责任，但应加强对劳动者的管理和教育，明确兼职行为的规范和限制，避免因此产生不必要的法律纠纷。
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