结论：兼职期间受伤的责任承担问题，需根据兼职人员与用工单位之间的法律关系（劳动关系或劳务关系）以及事故发生的具体原因来确定。以下是详细分析：
一、劳动关系下的责任承担
常见情形：
- 若兼职满足劳动关系的特征，如用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分等，那么在工作过程中因工作原因受伤，通常属于工伤。
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》第二条，用人单位应当为职工缴纳工伤保险费，职工有权享受工伤保险待遇。
- 《工伤保险条例》第十四条列举了应认定为工伤的情形，包括在工作时间和工作场所内因工作原因受到事故伤害等。
责任承担方式：
- 若用人单位已缴纳工伤保险，由工伤保险基金和用人单位按规定分别支付相应的工伤保险待遇，如医疗费、停工留薪期工资、伤残津贴等。
- 若用人单位未缴纳工伤保险，则由用人单位按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。
二、劳务关系下的责任承担
常见情形：
- 若兼职人员与用工单位之间形成的是劳务关系，即个人之间、个人与单位之间按照约定，由兼职人员向用工单位提供一次性的或者是特定的劳务服务，用工单位依约向兼职人员支付劳务报酬，那么在提供劳务过程中受伤，责任根据双方过错划分。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。
- 如因第三人的行为造成提供劳务一方损害，提供劳务一方有权请求第三人承担侵权责任，也有权请求接受劳务一方给予补偿。接受劳务一方补偿后，可以向第三人追偿。
责任承担方式：
- 若因用工单位过错（如工作环境存在安全隐患、设备故障等）导致受伤，用工单位需承担主要赔偿责任，赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金等。
- 若兼职人员自身有过错（如违反操作规程、未遵守安全提示等），根据其过错程度，可能会减轻用工单位的赔偿责任。
三、第三方责任
- 若兼职过程中受伤是由第三人的侵权行为导致的（如其他工作人员或外部人员的故意伤害），那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，第三人应承担侵权责任。同时，兼职人员也可以向用工单位请求赔偿（如果用工单位存在过错或未尽到安全保障义务），用工单位在承担赔偿责任后有权向第三人追偿。
综合建议
- 明确法律关系：在兼职过程中受伤时，首先需明确与用工单位之间的法律关系（劳动关系或劳务关系），以便确定责任承担方式。
- 保留证据：无论何种情况，受伤兼职人员都应保留好相关证据（如医疗记录、事故现场照片、证人证言等）以便维权。
- 及时申请工伤认定：若形成劳动关系，应及时申请工伤认定并享受工伤保险待遇；若未参加工伤保险，则由用人单位承担相应责任。
- 协商或诉讼：若形成劳务关系，应根据双方过错及相关法律法规来协商赔偿事宜；协商不成的，可以通过诉讼途径解决。
温馨提示：兼职工作虽形式灵活，但同样受到法律的保护。在兼职过程中，务必注意自身安全，遵守操作规程，了解自身权益和义务。如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。