结论：诉讼离婚第一次不判离时，可以当庭申请临时抚养权安排，但法院是否支持需结合具体案情判断。以下从法律程序、实务操作、申请要点三个角度展开说明：

一、法律程序依据：临时抚养权申请的合法性

根据《民法典》第1084条及司法实践，离婚诉讼期间，父母双方均有抚养子女的义务。若第一次起诉未判离（通常因感情未完全破裂或证据不足），但子女实际生活面临紧迫需求（如原抚养方无力继续抚养、子女权益可能受损等），法院可依申请或依职权作出临时抚养安排。
法律依据包括：

1. 《民法典》第1084条：离婚后子女抚养权归属以“最有利于未成年子女”为原则，诉讼期间亦适用；
   
2. 《民事诉讼法》第108条：法院对涉及子女利益的紧急事项，可采取保全措施（如临时指定抚养人）；
   
3. 部分地方高院出台的细则（如《北京市高级人民法院关于审理婚姻家庭案件若干问题的解答》）明确支持诉讼期间临时抚养权安排。

二、实务操作：当庭申请的可行性

可以当庭提出申请，但需注意以下实务要点：

1. 申请时机：在法庭辩论阶段或最后陈述前提出，避免因程序问题被驳回；
   
2. 证据准备：需提交证明子女当前生活状态的材料（如原抚养方经济恶化、虐待、疏于照顾等证据），或证明自身抚养优势的材料（如稳定住所、收入证明、子女意愿声明等）；
   
3. 法院审查重点：临时安排以“紧迫性”和“子女利益最大化”为核心，若原抚养方无重大过错，法院可能维持现状；若存在子女受侵害风险，则更可能支持变更。

三、申请要点：提高成功率的建议

1. 明确诉求：申请书中需写明临时抚养的具体安排（如由哪方直接抚养、探视权、抚养费支付等），避免模糊表述；
   
2. 优先协商：若双方能达成一致，可申请法院出具调解书确认临时安排，效率更高；
   
3. 后续衔接：若第一次未判离，临时抚养安排通常持续至第二次诉讼终结。若第二次仍未判离，需重新评估子女利益变化，申请调整安排。

提示：临时抚养权安排不等于最终抚养权判决，但可能影响法官对“最有利于子女”原则的判断。若您面临此类情况，建议提前整理子女生活现状、双方抚养条件对比等证据，提高申请成功率。如有具体案情需分析，可进一步向我咨询。