法院有权不支持保险公司在一审中提出的重新鉴定要求。具体分析如下：

1. 法院对重新鉴定申请的审查权
   根据《民事诉讼法》及相关司法解释，法院对当事人提出的重新鉴定申请并非必须准许，而是需结合案件具体情况进行审查。若保险公司提出的重新鉴定理由不充分（如未提供证据证明原鉴定存在程序违法、依据不足等情形），法院可直接驳回申请。

2. 重新鉴定的法定条件
   法院支持重新鉴定的核心条件包括：

   • 鉴定机构或人员不具备资质：如原鉴定机构未列入司法鉴定名录，或鉴定人无相应资格；
     
   • 鉴定程序严重违法：如未依法通知当事人到场、未封存检材等；
     
   • 鉴定意见明显依据不足：如鉴定方法错误、数据矛盾且无法解释；
     
   • 其他足以影响公正鉴定的情形：如鉴定人应当回避而未回避、鉴定材料被污染等。
     若保险公司仅以“鉴定结果不利”为由申请重新鉴定，法院通常不予支持。

3. 法院的自由裁量权
   即使保险公司提出重新鉴定申请，法院也会综合考量以下因素：

   • 原鉴定意见的证明力：若原鉴定机构资质合法、程序规范、结论明确，法院可能维持原鉴定效力；
     
   • 诉讼效率与成本：重新鉴定会延长审理周期、增加当事人负担，法院可能优先选择通过质证、补充鉴定等方式解决争议；
     
   • 当事人举证责任：保险公司需承担“原鉴定存在瑕疵”的举证责任，若无法提供有效证据，法院可驳回申请。

实务建议：
若您作为原告收到保险公司重新鉴定申请，可重点核查原鉴定是否符合法定条件，并准备反驳证据（如鉴定机构资质证明、鉴定过程记录等）。若法院驳回申请，保险公司需承担不利后果；若法院准许，您可要求重新鉴定机构与原机构资质相当，并监督鉴定过程合法性。

如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我咨询。