结论：给对方鼻骨打骨折后，即使给对方钱并希望对方不追究，派出所也不能随意撤案。是否撤案需根据案件具体情况和法律规定来决定，并非由双方私下协商决定。
分析说明：
案件性质：
- 鼻骨骨折通常构成轻伤，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体致轻伤的，构成故意伤害罪，需要承担刑事责任。因此，此类案件属于刑事案件范畴，并非简单的民事纠纷。
撤案条件：
- 在刑事案件中，撤案通常需要满足一定的条件，如犯罪情节轻微、已取得被害人谅解、犯罪嫌疑人自首或立功等。但即便满足这些条件，撤案也需由公安机关或检察机关依法决定，而非由双方私下协商决定。
- 特别是当案件已经进入司法程序后，撤案的决定将更加严格，需要综合考虑案件的社会影响、法律效果以及被害人的权益保护等因素。
私下协商的影响：
- 双方私下协商并达成赔偿协议，虽然可以在一定程度上缓解矛盾，但并不能直接导致案件的撤销。私下协商的结果可以作为量刑时的参考因素，如取得被害人谅解可能作为从轻处罚的情节，但并不能改变案件的刑事性质。
法律后果：
- 如果未经法定程序擅自撤案，可能会损害法律的严肃性和权威性，也可能对被害人的权益造成二次伤害。因此，公安机关和检察机关在处理此类案件时，会严格按照法律规定和程序进行，确保案件的公正处理。
行动建议：
- 积极配合调查：如果已经被公安机关立案调查，应积极配合调查工作，如实陈述事实，提供相关证据。
- 寻求法律帮助：可以咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及案件的可能走向和应对策略。律师可以提供专业的法律意见和辩护服务，帮助维护合法权益。
- 尊重法律程序：无论案件结果如何，都应尊重法律程序和判决结果。如果对判决结果有异议，可以通过合法途径提出上诉或申诉。
特殊场景：
- 如果双方确实希望私下解决纠纷，并达成赔偿协议，可以在律师的协助下签订和解协议，并明确约定双方的权利和义务。但需要注意的是，和解协议并不能直接导致案件的撤销，而是作为量刑时的参考因素之一。
法律依据：
- 《中华人民共和国刑法》第二百三十四条：“故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。”
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