结论：合同到期不续签但想多做一个月，这涉及原合同终止与新劳务关系建立的问题，具体能否实现以及如何操作，需分情况讨论。
若原合同中有相关约定
有些劳动合同会在“合同终止与续订”条款中明确约定，合同到期后，若员工希望继续工作一段时间，需提前多久通知用人单位，且用人单位同意后，双方可签订短期劳务协议或补充协议，明确这额外一个月的工作内容、报酬、权利义务等。
- 操作建议：先仔细翻阅原劳动合同，查看是否有此类条款。若有，按约定流程向用人单位提出申请（如提前7天书面通知），并协商签订补充协议，将这一个月的劳务关系以书面形式固定下来，避免后续纠纷。
若原合同无约定，但用人单位同意
即使原合同未约定，若用人单位基于业务需要（如暂时未招到接替人员）或对员工工作满意，同意员工多做一个月，双方可协商一致后，签订书面协议（如《劳务协议》），明确这一个月的性质（属于劳务关系，非劳动关系）、工作内容、报酬标准（可与原合同一致或重新约定）、工作时间、违约责任等。
- 操作建议：主动与用人单位沟通，说明希望多做一个月的原因（如过渡期、未找到新工作等），争取用人单位理解。若用人单位同意，务必要求签订书面协议，避免口头约定导致后续争议（如用人单位否认、拖欠报酬等）。
若原合同无约定，且用人单位不同意
若用人单位明确拒绝员工多做一个月的要求，员工继续工作可能面临两种风险：
- 劳动关系自动延续：根据《劳动合同法》及相关司法解释，合同到期后，劳动者继续在原用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同（即劳动关系自动延续）。但这种延续是“事实劳动关系”，若用人单位后续否认或拖欠报酬，员工需通过劳动仲裁主张权利，过程可能较复杂。
- 被认定为“非法用工”：若用人单位明确拒绝延续劳动关系，但员工强行留任，可能被认定为“非法用工”（即无合法劳动关系的工作状态），此时员工的权益（如工资、社保、工伤赔偿等）可能无法得到法律全面保障。
- 操作建议：若用人单位不同意，员工应尊重用人单位决定，避免强行留任。若确实需要过渡期，可与用人单位协商“临时帮忙”或“兼职”等灵活方式，并签订书面协议明确权利义务；或尽快寻找新工作，避免法律风险。
额外提醒：无论哪种情况，员工都需注意保留相关证据（如沟通记录、书面协议、工作记录等），以便在发生纠纷时维护自身权益。若对具体操作有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的具体情况进一步分析。