当您和对方对伤情鉴定结果都不认可时，您有权申请重新鉴定，且需遵循特定的法律依据和申请流程。以下是详细的分析和建议：
一、法律依据与申请权利
根据《公安机关办理行政案件程序规定》第九十七条，当您对伤情鉴定结果（无论是轻伤还是轻微伤）持有异议时，您完全有权在收到鉴定意见复印件之日起三日内提出重新鉴定的申请。这一权利同样适用于对方。重要的是，是否申请重新鉴定并不会影响案件的正常推进。同时，公安机关在认为必要时，也有权直接决定进行重新鉴定。
二、申请重新鉴定的具体流程
提交书面申请：
- 您需要向原鉴定机构或委托鉴定的公安机关提交一份书面的重新鉴定申请。
- 在申请中，请详细说明您不服原鉴定结果的理由和所依据的事实或证据，比如您认为鉴定程序存在瑕疵、鉴定人员不具备相应资格、鉴定依据不充分等。
审核与批准：
- 相关部门将对您的申请进行仔细审核，主要考察是否存在重新鉴定的合理性和必要性。
- 经县级以上公安机关负责人的批准后，您的重新鉴定申请才会被正式接受。
选择鉴定机构：
- 为了确保重新鉴定的公正性和客观性，通常会另行指派或聘请新的鉴定人进行鉴定。
- 重新鉴定往往会在省级人民政府指定的医院或具有相应资质的鉴定机构进行，以确保鉴定的权威性和准确性。
进行重新鉴定：
- 新的鉴定机构和鉴定人员将按照严格的程序和要求，对您的情况进行再次鉴定。
- 鉴定完成后，他们将出具一份新的鉴定意见，作为案件处理的重要参考。
三、注意事项与后续行动
- 确保材料真实有效：在申请重新鉴定的过程中，请务必确保您提交的所有材料都是真实有效的，包括您的身份证明、原鉴定意见复印件、重新鉴定申请书以及您认为需要提交的其他证据材料。
- 遵守程序与要求：严格遵守相关程序和要求，以确保重新鉴定的公正性和合法性。比如，按照规定的时间提交申请、配合鉴定机构的工作等。
- 关注鉴定结果：在重新鉴定完成后，及时关注新的鉴定意见。如果新的鉴定意见仍然不符合您的预期，您可以考虑通过法律途径进一步维护自己的权益，比如提起民事诉讼或刑事自诉等。
- 考虑和解或调解：在等待重新鉴定结果的过程中，您也可以考虑与对方进行和解或调解。如果双方能够达成一致意见，可以签订和解协议或调解协议，从而避免进一步的法律纠纷。
四、可能的法律后果
- 如果重新鉴定结果改变：如果重新鉴定结果改变了原鉴定意见，那么案件的处理将会根据新的鉴定意见进行。比如，如果原鉴定为轻伤，重新鉴定为轻微伤，那么案件的性质和处罚力度可能会相应减轻。
- 如果重新鉴定结果未改变：如果重新鉴定结果仍然与原鉴定意见一致，那么案件的处理将会继续按照原鉴定意见进行。此时，您可能需要考虑通过其他法律途径来维护自己的权益。
最后，我建议您在申请重新鉴定的过程中保持冷静和理性，积极配合相关部门的工作，并随时关注案件的进展情况。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。