结论：买断后单位和劳动局私自将您的身份变为灵活就业人员，这一行为是否合法，需根据具体情况来判断，但一般情况下，这种私自变更的行为是不合法的。
分析说明：
买断工龄与身份变更的合法性：
- 买断工龄通常指的是用人单位与职工协商一致，通过一次性支付经济补偿金的方式，解除双方之间的劳动关系。买断后，职工与原用人单位的劳动关系即告终止。
- 身份变更，如从正式职工变为灵活就业人员，需要基于双方的协商一致，并符合相关法律法规的规定。灵活就业人员通常指的是以非全日制、临时性、弹性工作等灵活形式就业的人员，其与用人单位之间不建立传统的劳动关系。
- 若单位和劳动局在未经您同意的情况下，私自将您的身份变为灵活就业人员，这违反了协商一致的原则，也侵犯了您的合法权益。
劳动局的角色与权限：
- 劳动局（或人力资源和社会保障部门）是负责劳动保障工作的政府机构，其职责包括监督用人单位遵守劳动法律法规、处理劳动争议等。
- 劳动局无权单方面改变您的就业身份。其职责是确保劳动法律法规的遵守和执行，而不是直接干预或改变劳动者的就业状态。
可能的法律后果与维权途径：
- 如果单位和劳动局的行为确实违法，您有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认身份变更无效，并恢复原有的劳动关系或寻求相应的经济补偿。
- 在仲裁过程中，您需要提供相关证据证明单位和劳动局的行为未经您同意，且违反了相关法律法规的规定。
- 若仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
行动建议：
- 收集证据：首先，您需要收集所有与买断工龄、身份变更相关的证据，包括买断协议、身份变更通知、与单位或劳动局的沟通记录等。
- 咨询专业意见：在采取任何行动之前，建议您咨询专业的劳动法律师，以了解您的具体权益和可行的维权途径。
- 申请仲裁或提起诉讼：根据律师的建议，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
特殊场景提醒：
- 如果买断协议中明确约定了身份变更的条款，且该条款不违反法律法规的强制性规定，那么单位和劳动局的行为可能具有一定的合法性。但即便如此，他们也需要确保您充分理解并同意这些条款。
- 如果您在买断后已经接受了灵活就业的身份，并享受了相应的待遇，那么再主张身份变更无效可能会面临一定的法律障碍。因此，在做出任何决定之前，请务必谨慎考虑并咨询专业意见。
相关法规参考：
- 《中华人民共和国劳动法》等相关法律法规中关于劳动关系建立、变更和终止的规定。
- 《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》中关于劳动争议处理程序的规定。