结论：隐瞒犯罪记录，单位能否开除，需根据具体情况判断，主要取决于犯罪记录的性质、单位规章制度以及劳动合同的约定。以下从不同角度进行详细分析：
一、从法律规定角度
《劳动合同法》的相关规定：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。但此条款针对的是“被依法追究刑事责任”的情形，而非隐瞒犯罪记录本身。
- 若劳动者隐瞒的犯罪记录与所从事的工作存在直接关联，且该犯罪记录可能影响其履行劳动合同的能力或对单位造成重大损害，单位可能依据《劳动合同法》的相关规定，以劳动者存在欺诈行为为由解除劳动合同。
单位规章制度的约束：
- 单位有权根据自身情况制定规章制度，明确员工应遵守的行为规范。若规章制度中明确规定隐瞒犯罪记录属于严重违反规章制度的行为，单位有权依据该规定解除劳动合同。
- 但单位规章制度必须合法有效，且经过民主程序制定并公示，否则可能无法作为解除劳动合同的依据。
二、从实际操作角度
犯罪记录的性质：
- 若劳动者隐瞒的是严重犯罪记录，如涉及贪污、受贿、诈骗等经济犯罪，且该犯罪记录与所从事的工作存在直接关联，单位在发现后可能会选择解除劳动合同。
- 若劳动者隐瞒的是轻微犯罪记录，且与所从事的工作无直接关联，单位可能会根据具体情况决定是否解除劳动合同。
劳动合同的约定：
- 若劳动合同中明确约定劳动者应如实告知犯罪记录，且隐瞒犯罪记录构成违约行为，单位有权依据合同约定解除劳动合同。
- 若劳动合同中未明确约定此条款，单位在解除劳动合同时需更加谨慎，确保解除行为符合法律规定和单位规章制度。
三、法律建议
对劳动者的建议：
- 劳动者在入职时应如实告知单位自己的犯罪记录情况，避免隐瞒或虚假陈述。
- 若已隐瞒犯罪记录，应尽快与单位沟通并说明情况，争取单位的谅解和宽容处理。
对单位的建议：
- 单位在招聘时应明确告知劳动者需如实告知犯罪记录情况，并在劳动合同中明确约定相关条款。
- 单位在发现劳动者隐瞒犯罪记录后，应首先核实情况并评估其对单位的影响程度，再决定是否解除劳动合同。
- 若决定解除劳动合同，应确保解除行为符合法律规定和单位规章制度，避免引发劳动争议。
后续行动建议：若您或您所在的单位面临此类问题，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议和解决方案。