结论前置：离婚后，如果一方在婚姻存续期间对年老、年幼、患病或其他没有独立生活能力的家庭成员存在遗弃行为，且情节恶劣，另一方依然有权向法院提起刑事自诉，指控对方犯有遗弃罪。

详细分析：

1. 遗弃罪的定义与构成要件：

   • 遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。这里的“扶养义务”是基于婚姻法、民法等相关法律法规所产生的，对家庭成员在经济、生活等方面的照顾和帮助的法定义务。
   • 构成遗弃罪的关键要素包括：扶养义务人、拒绝扶养、情节恶劣。扶养义务人指的是对特定家庭成员负有扶养责任的人；拒绝扶养则是指未履行法定的扶养义务，拒绝提供必要的经济支持和生活照顾；情节恶劣则是指遗弃行为达到了严重的程度，如因遗弃致使被害人重伤、死亡，或者被害人因被遗弃而生活无着、流离失所等。

2. 离婚后起诉遗弃罪的可能性：

   • 即使在婚姻关系终止后，如果遗弃行为在婚姻存续期间已经发生，并且达到了情节恶劣的程度，受害方仍然有权追究对方的刑事责任。这是因为遗弃罪侵犯的是家庭成员之间的扶养关系，这种关系并不因婚姻关系的终止而消失。
   • 受害方在离婚后提起刑事自诉时，需要提供充分的证据来证明对方的遗弃行为，并确保这些证据能够清晰地展示遗弃行为的恶劣程度。证据可以包括相关证人证言、医疗诊断证明、报警记录、与遗弃行为相关的聊天记录或视频资料等。

3. 起诉遗弃罪的法律程序与注意事项：

   • 受害方在准备起诉之前，应详细了解法律程序和相关要求，确保自己的权益得到充分保障。这包括了解刑事自诉的提起条件、证据收集与提交的要求、诉讼时效等。
   • 在起诉过程中，受害方应积极配合法院的调查和审理工作，提供必要的证据和材料。同时，也可以寻求法律援助或咨询专业律师（在这里，你可以直接向我咨询相关法律问题），以获取更详细的法律指导和支持。

4. 遗弃行为与离婚诉讼的关联：

   • 虽然遗弃罪本身不能直接作为提起离婚诉讼的依据，但配偶的遗弃行为是提起诉讼离婚的有力理由。在离婚诉讼中，受害方可以基于遗弃行为要求对方给予物质损害赔偿和精神损害赔偿。
   • 如果遗弃行为情节严重构成犯罪，受害方在提起离婚诉讼的同时，也有权向公安机关报案，追究对方的刑事责任。这两种法律手段可以并行处理，共同维护受害方的合法权益。

法律建议：

• 如果你或你身边的人遭遇了遗弃行为，并且考虑离婚后起诉对方遗弃罪，建议尽快收集相关证据，并详细了解法律程序和相关要求。
• 在整个过程中，你可以直接向我咨询相关法律问题，我会根据你的具体情况提供有针对性的法律建议和指导。

综上所述，离婚后如果一方在婚姻存续期间存在遗弃家庭成员的恶劣行为，另一方完全有权向法院提起刑事自诉，追究对方的遗弃罪责任。但务必确保证据充分，并了解法律程序和相关要求。