离婚后，如果一方在婚姻存续期间存在遗弃家庭成员的恶劣行为，另一方依然有权向法院提起刑事自诉，指控对方犯有遗弃罪。以下是对这一问题的详细分析：

一、遗弃罪的法律定义与构成要件

根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。构成遗弃罪需要满足以下要件：

1. 对象条件：仅限于年老、年幼、患病或其他没有独立生活能力的家庭成员。
2. 主体条件：必须是对被遗弃者负有法律上扶养义务且具有抚养能力的人，如夫妻、父母与子女等。
3. 客观条件：表现为应当扶养而拒不扶养，且情节恶劣。这里的“能够”负担是基于客观事实判断，而非主观臆断。
4. 主观条件：表现为故意，即明知自己应履行扶养义务却拒绝扶养，动机不影响定罪。

二、情节恶劣的认定标准

在司法实践中，“情节恶劣”是判定遗弃罪的关键，通常包括以下情形：

• 因遗弃导致被害人重伤、死亡；
• 被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，甚至被迫沿街乞讨；
• 因遗弃而使被害人走投无路被迫自杀；
• 行为人屡经教育，仍拒绝改正，使被害人的生活陷入危难境地；
• 遗弃手段特别恶劣，如伴随打骂、虐待等行为。

三、离婚后追究遗弃罪的可行性

1. 婚姻存续期间的遗弃行为：如果一方在婚姻存续期间对年老、年幼、患病或其他没有独立生活能力的家庭成员存在遗弃行为，且情节恶劣，那么即使离婚后，另一方依然有权向法院提起刑事自诉，指控对方犯有遗弃罪。
2. 证据收集：在起诉遗弃罪时，受害方需要收集充分的证据来证明对方的遗弃行为，并确保这些证据能够清晰地展示遗弃行为的恶劣程度。证据可以包括相关证人证言、医疗诊断证明、报警记录、与遗弃行为相关的聊天记录或视频资料等。

四、法律建议

1. 及时咨询：如果你怀疑对方在婚姻存续期间存在遗弃行为，且情节恶劣，建议及时向我咨询，了解具体的法律程序和要求。
2. 收集证据：在准备起诉之前，务必收集充分的证据来证明对方的遗弃行为。这些证据将是你追究对方刑事责任的关键。
3. 提起刑事自诉：在确保证据充分的情况下，你可以向法院提起刑事自诉，指控对方犯有遗弃罪。法院将依法审理案件，并根据事实和法律作出判决。

五、可能的法律后果

如果法院认定对方构成遗弃罪，将依法对其处以五年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。这将是对对方遗弃行为的严厉惩罚，也是对你合法权益的有效保护。

总之，离婚后如果一方在婚姻存续期间存在遗弃家庭成员的恶劣行为，另一方完全有权向法院提起刑事自诉追究对方的遗弃罪责任。但务必确保证据充分，并遵循法律程序进行操作。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。