您好，关于单位是否可以办理病退的问题，这主要取决于职工的具体情况以及相关的政策规定。以下是我为您详细梳理的病退办理条件和流程：

一、病退办理条件

1. 年龄与缴费年限：

   • 一般来说，男职工需满50周岁，女职工需满45周岁（具体年龄可能因地区和政策而异，需参照当地规定）。
   • 职工需依法参加基本养老保险，且缴费年限满国家规定的最低缴费年限，目前国家规定的最低缴费年限是十五年。

2. 劳动能力丧失：

   • 职工需因病或者非因工致残，并经设区市劳动能力鉴定委员会确认，完全丧失劳动能力。

二、病退办理流程

1. 劳动能力鉴定：

   • 职工或所在单位需向当地劳动能力鉴定委员会提出申请，提交相关病历资料、身份证件等材料。
   • 劳动能力鉴定委员会将组织专家对职工进行劳动能力鉴定，并出具鉴定结论。

2. 单位申请与审批：

   • 经鉴定属于完全丧失劳动能力的，职工所在单位需按人事管理权限报主管部门审批。
   • 主管部门批准同意病退后，单位再向参保地机关事业单位退休审批部门（或社保中心退休受理窗口，具体取决于职工身份和地区政策）提交申请材料，包括职工身份证件、职工档案、申请相关表格等。

3. 待遇申领：

   • 职工在收到鉴定结论并符合病退条件后，应尽快办理待遇申领手续，以确保能够按时领取基本养老金。

三、针对您个人情况的建议

• 您作为事业单位工勤岗职工，男，53岁，参加工作满34年，因突发脑溢血后经系统治疗，半侧身体偏瘫，无法到单位正常上班胜任岗位工作。根据您描述的情况，您符合病退的基本条件。
• 建议您先向所在单位提出病退申请，并由单位为您申请劳动能力鉴定。
• 经鉴定属于完全丧失劳动能力后，按人事管理权限报主管部门审批，并等待主管部门批准同意病退。
• 主管部门批准后，再由所在单位向参保地机关事业单位退休审批部门提交申请材料，办理病退手续。

四、注意事项

• 病退政策可能因地区和单位性质而有所不同，建议您在办理前详细咨询当地社保部门或人事部门，以了解具体的政策规定和办理流程。
• 在办理病退过程中，您需要准备齐全相关的病历资料、身份证件等材料，并确保材料的真实性和有效性。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。