公布小偷的视频是否违法，需根据具体情况来判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 一般不违法的情况：

   • 合理范围内曝光：为了维护自身或他人的合法权益，在合理范围内公布小偷的视频，如在小范围场所（如朋友圈、小区业主群）发布监控视频片段，并说明时间地点等情况，以提醒周围人提高警惕，这种公布行为通常不违法。例如，小区内发生盗窃事件后，业主将监控视频截图或片段发在业主群里，这种做法属于公民合理行使自我保护和正当监督的权利。但需注意，公布时应避免泄露小偷的过多个人信息，如面部特征过于清晰可能涉及侵犯肖像权（若未用于合法维权目的），同时避免使用侮辱性语言。
   • 抓捕过程中的记录：如果小偷正在实施盗窃，为了抓捕他而拍摄视频，并且没有侵犯他的其他合法权益（如未公开其敏感信息，且视频内容真实反映了盗窃行为），这种行为通常也不被视为违法。但同样需注意，公布时应遵循合法、正当、必要的原则。

2. 可能违法的情况：

   • 侵犯隐私过度曝光：若公布行为超出必要限度，过度公开小偷的个人隐私信息，如身份证号、家庭住址、电话号码等大量敏感信息，或者使用侮辱性、诽谤性语言对小偷进行描述，就可能侵犯小偷的隐私权、名誉权等合法权益，从而构成违法。此时，公布者可能需要承担停止侵害、消除影响、赔礼道歉及赔偿损失等民事责任。
   • 造成严重后果：若公布行为导致小偷受到人身伤害、精神失常等严重后果，或者引发严重的不良社会后果（如引起社会恐慌、扰乱公共秩序等），公布者可能会因涉嫌侵权甚至构成其他更严重的法律责任（如涉嫌侮辱罪、诽谤罪等刑事犯罪）而面临法律制裁。
   • 违反平台规定与法律法规：在某些平台发布内容时，需遵守平台的内容发布规则和隐私政策。如果公布行为违反了这些规定或相关法律法规（如传播淫秽、恐怖、暴力等不良信息，或者未经许可传播他人视频侵犯著作权等），发布者可能会面临法律责任。

建议与指导：

• 在面对小偷行为时，最稳妥的做法是及时报警，让警察来处理。警方有专业的手段和方法来调查、抓捕和处理小偷，同时也能确保整个过程的合法性和公正性。
• 如果确实需要公布小偷的视频以提醒公众防范，应确保在合法、合理的范围内进行。避免泄露小偷的过多个人信息，避免使用侮辱性语言，并尽量选择在小范围场所发布。
• 如有任何疑问或担忧，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。

总之，公布小偷的视频并非绝对违法，但需谨慎行事，确保行为的合法性和正当性。