结论前置：在欠条约定分期付款的情况下，若第一期未履行，债权人通常不能直接就未到期的全部款项请求法院判决履行，但存在例外情况。
详细分析：
一般原则：
- 根据合同法的相关原则（虽原合同法已废止，但相关精神在《中华人民共和国民法典》中得以延续），合同双方应当按照约定履行各自的义务。在分期付款的欠条中，每一期的付款都是独立的合同义务，除非合同中有特别约定，否则一期的未履行并不直接导致其他未到期义务的加速到期。
- 因此，在一般情况下，如果债务人只是第一期未履行付款义务，债权人不能直接请求法院判决债务人履行未到期的全部款项。
例外情况：
- 合同约定：如果欠条中明确约定了，在某一期未履行时，债权人有权要求债务人提前履行全部或剩余未到期的款项，那么债权人可以依据该约定请求法院判决债务人履行。
- 预期违约：如果债务人的行为表明其将不履行后续的付款义务，例如债务人明确表示拒绝履行、丧失履行能力等，这构成了预期违约。在这种情况下，债权人可以依据《中华人民共和国民法典》中关于预期违约的规定，请求法院判决债务人提前履行全部或剩余未到期的款项。
- 不安抗辩权：在双务合同中，如果先履行债务的当事人有确切证据证明对方有经营状况严重恶化、转移财产、抽逃资金以逃避债务等情形，可能丧失履行债务能力的，可以中止履行。若对方在合理期限内未恢复履行能力且未提供适当担保的，视为以自己的行为表明不履行主要债务，此时先履行债务的当事人也可以请求法院判决对方提前履行全部或剩余未到期的债务。不过，这一情形在民间借贷中相对少见，且需要严格的证据支持。
法律建议：
- 如果您作为债权人遇到了这种情况，首先应当仔细审查欠条中的条款，看是否有关于提前履行的特别约定。
- 如果没有特别约定，但您有理由相信债务人将不履行后续的付款义务（如债务人明确表示拒绝履行、丧失履行能力等），您可以考虑收集相关证据，并咨询专业律师（即我，王昭坤律师，专注于婚姻家庭、债权债务领域），以评估是否构成预期违约或是否可以行使不安抗辩权，并据此决定是否向法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持您的主张，包括欠条、债务人的违约行为证据等。
可能法律后果：
- 如果法院认定您的主张成立（如构成预期违约或可以行使不安抗辩权），则可能判决债务人提前履行全部或剩余未到期的款项。
- 如果法院认定您的主张不成立，则可能仅判决债务人履行已到期的款项，并可能要求您承担部分或全部诉讼费用。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。