可以申请，独生子女费单位未发放时，劳动者有权向本地劳动监察部门投诉。以下是详细分析：

1. 独生子女费的法律性质
   根据《中华人民共和国人口与计划生育法》及地方性法规（如《XX省人口与计划生育条例》），独生子女费属于国家对响应计划生育政策家庭的奖励性补贴，单位有义务按照政策规定发放。若单位未履行该义务，劳动者可通过法律途径维权。

2. 劳动监察部门的职责范围
   劳动监察部门（如劳动保障监察大队）负责监督用人单位遵守劳动法律法规，包括但不限于：

   • 工资支付（含补贴、津贴）；
     
   • 社会保险缴纳；
     
   • 劳动合同履行等。
     独生子女费虽非工资，但属于法定补贴，劳动监察部门有权介入调查并责令单位整改。

3. 申请流程与注意事项

   • 准备材料：
     需提供劳动合同、单位未发放独生子女费的证明（如工资条、同事证言、单位通知等）、独生子女证及相关政策文件（如地方计划生育条例）。
     
   • 投诉方式：
     可向单位所在地的区/县级劳动监察部门提交书面投诉材料，或通过“全国根治欠薪线索反映平台”等线上渠道举报。
     
   • 处理结果：
     劳动监察部门将调查核实，若单位确存在违法行为，会责令限期支付；逾期不支付的，可加付赔偿金（通常为应付金额的50%-100%）。

4. 其他维权途径
   若劳动监察处理未果，可进一步申请劳动仲裁，主张单位支付独生子女费及可能的赔偿金。仲裁裁决具有法律效力，单位拒不履行可申请法院强制执行。

建议：先与单位协商或通过工会沟通，若无效再启动法律程序，以降低维权成本。如有具体证据或地方政策疑问，可进一步向我咨询，我会结合您所在省份的法规提供针对性建议。