针对“肇事逃逸司机什么时候被拘留”这一问题，我会从多个角度进行分析，以便为您提供一个全面且清晰的解答。
一、未构成犯罪的情况
拘留时间：
- 若肇事逃逸行为未构成犯罪，公安机关交通管理部门在查获交通肇事逃逸人后，通常会在24小时内将其拘留。
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条的规定，对逃逸者可以处十五日以下拘留，并处二百元以上二千元以下罚款，同时驾驶证会被记12分。
法律建议：
- 在此情况下，逃逸者应尽快主动投案，并如实供述自己的罪行，这有助于减轻可能的法律后果。
- 逃逸者应积极配合公安机关的调查取证工作，以便尽快查清事实真相，维护自己的合法权益。
二、构成犯罪的情况
刑事拘留期限：
- 若肇事逃逸行为构成交通肇事罪等犯罪，犯罪嫌疑人会被刑事拘留。
- 在侦查阶段，拘留的期限一般为三日，特殊情况下可以延长一日至四日。
- 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，拘留期限可以延长至三十日。
- 之后，案件会移送审查起诉，最终由法院根据犯罪事实和法律规定来判处相应的刑罚，如三年以上七年以下有期徒刑（交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的），或七年以上有期徒刑（因逃逸致人死亡的）。
法律建议：
- 在此情况下，逃逸者更应尽快主动投案，并如实供述自己的罪行，以争取从轻或减轻处罚。
- 逃逸者应积极配合司法机关的调查和审判工作，以便法院能够全面了解案件事实，作出公正的判决。
三、影响拘留时间的因素
案件复杂程度：
- 逃逸案件的复杂性会影响证据的收集和责任的认定，进而影响拘留时间的确定。
- 简单明了的案件可能很快作出拘留决定，而复杂案件则需要更多时间来调查取证。
调查进展：
- 公安机关的调查进展也是决定拘留时间的重要因素。
- 如果调查顺利，证据确凿，拘留决定可能会迅速作出；反之，如果调查遇到困难或需要更多时间收集证据，拘留时间可能会相应延迟。
四、特殊情况说明
- 如果肇事逃逸司机在逃逸过程中还涉及其他犯罪行为（如醉酒驾驶、危险驾驶等），那么拘留时间可能会根据相关犯罪行为的法律规定进行延长或合并计算。
总结与建议：
肇事逃逸后的拘留时间是根据案件的具体情况和法律规定来综合判定的。无论是否构成犯罪，逃逸者都应尽快主动投案、积极配合调查取证工作，并承担相应的民事责任（如医疗费、误工费、护理费等费用，以及可能的其他经济损失），以减轻可能的法律后果。如果您或您身边的人涉及此类情况，请尽快向我咨询，以便我能够为您提供更具体的法律建议和帮助。