结论：警察打死小偷是否犯法，不能一概而论，需要分情况讨论。
正当防卫或紧急避险情况：
- 如果小偷正在实施暴力犯罪，如持刀抢劫、攻击警察或他人，且警察的生命安全受到直接威胁，警察在采取防卫措施时不慎导致小偷死亡，这可能构成正当防卫或紧急避险。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，正当防卫或紧急避险不负刑事责任。但这种情况需要严格的证据支持，证明警察的行为是出于必要且合理的防卫或避险。
过度使用武力情况：
- 如果小偷并未对警察或他人构成直接的生命威胁，或者警察在制服小偷后继续使用暴力导致其死亡，这可能构成过度使用武力或故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
执法程序违法情况：
- 如果警察在执法过程中违反了法定程序，如未出示证件、未告知权利、未给予小偷合理的反抗机会等，且这些违法行为与小偷的死亡有直接因果关系，那么警察可能因执法程序违法而承担相应的法律责任。这可能涉及滥用职权罪、玩忽职守罪等，具体根据《中华人民共和国刑法》的相关规定来判定。
法律背景与建议：
- 警察在执法过程中必须严格遵守法律法规，确保自己的行为合法、合理、必要。在面对犯罪嫌疑人时，应优先采取非暴力手段进行制服，只有在必要时才能使用武力，且武力的使用必须适度，不得超过必要的限度。
- 如果小偷的家属或相关方认为警察的行为涉嫌违法，可以向公安机关的督察部门投诉，或者向人民检察院提出申诉，要求调查警察的行为是否合法。
- 对于公众而言，了解法律对于警察执法权力的限制和规定是非常重要的，这有助于维护自身的合法权益，也有助于促进社会的法治建设。
可能法律后果：
- 如果警察的行为被认定为正当防卫或紧急避险，则不负刑事责任。
- 如果警察的行为被认定为过度使用武力或执法程序违法，则可能面临刑事指控和相应的法律制裁，包括有期徒刑、无期徒刑甚至死刑（在极端情况下）。同时，警察还可能面临行政处分或职业纪律处分。
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