如果监督部门不依法履职，您可以采取以下措施来维护自身合法权益，我将从法律救济途径和具体操作步骤两个层面为您详细说明：

1. 行政复议：向上级部门申请监督

• 法律依据：根据《行政复议法》第六条，公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责的，可申请行政复议。
• 操作步骤：
  1. 确定复议机关：向监督部门的上一级主管部门或同级人民政府提出申请（如区环保局不履职，可向市环保局或区政府申请复议）。
  2. 提交材料：需提交书面申请书（载明申请人信息、复议请求、事实理由）、证据材料（如书面申请履职的记录、监督部门未回复的证明等）。
  3. 时效要求：自知道监督部门不履职之日起60日内提出申请。
• 结果效力：复议机关若认定监督部门违法，可责令其限期履职或确认其不作为违法。

2. 行政诉讼：向法院提起履职之诉

• 法律依据：根据《行政诉讼法》第十二条，公民可对行政机关拒绝履行或不予答复的行为提起诉讼。
• 操作步骤：
  1. 确定管辖法院：一般由监督部门所在地的基层人民法院管辖（如对市市场监管局不履职起诉，可向其所在区法院提交材料）。
  2. 提交材料：需提交起诉状（载明原被告信息、诉讼请求、事实理由）、证据材料（如申请履职的凭证、监督部门未处理的证明等）。
  3. 时效要求：自知道监督部门不履职之日起6个月内提起诉讼（若已申请行政复议，则自收到复议决定之日起15日内起诉）。
• 结果效力：法院若判决监督部门违法，可责令其重新作出行政行为或直接履行职责。

3. 投诉举报：通过多渠道督促履职

• 向纪检监察机关反映：若监督部门存在故意拖延、推诿等失职行为，可向其上级纪委或监察委实名举报，要求追究相关人员责任。
• 向人大或政协提案：通过人大代表或政协委员反映问题，推动监督部门整改（适用于系统性、普遍性不履职问题）。
• 公开曝光：在合法合规前提下，通过媒体或网络平台披露监督部门不作为情况，形成舆论压力（需注意避免侵犯名誉权）。

4. 申请检察监督：借助司法机关介入

• 法律依据：根据《行政诉讼法》第九十三条，检察院可对行政机关不依法履职的行为提出检察建议或提起公益诉讼。
• 操作步骤：
  1. 向检察院申请监督：提交书面申请书（载明监督部门不履职的事实、证据及请求），由检察院审查后决定是否介入。
  2. 参与公益诉讼：若监督部门不履职损害公共利益（如环境污染、食品安全等），检察院可直接提起公益诉讼，您可作为利害关系人参与诉讼。

⚠️ 关键提醒：

• 保留证据：所有申请履职、投诉举报的记录（如邮寄凭证、短信截图、录音录像等）均需妥善保存，这是后续维权的核心依据。
• 避免过激行为：在维权过程中需保持理性，通过合法途径表达诉求，避免因冲突导致自身权益受损。
• 分阶段推进：建议优先通过行政复议或投诉举报解决，若未果再启动行政诉讼或检察监督，以降低维权成本。

若您已遇到监督部门不履职的具体情况，可直接向我描述事件细节（如监督部门名称、不履职的具体表现、您已采取的措施等），我将为您制定更精准的维权方案。