结论：在工伤期间，公司要求您签订子公司的兼职合同，不建议您轻易签署，因为这可能对您的工伤流程及后续赔偿产生不利影响。以下从多个角度为您详细分析：
一、对工伤流程的影响
劳动关系认定：
- 工伤认定及赔偿的基础是您与原公司之间存在劳动关系。若您在工伤期间签署了子公司的兼职合同，可能引发劳动关系认定的争议，即您是否仍与原公司保持劳动关系，还是已与子公司建立了新的劳动关系。
- 这种争议可能导致工伤认定流程受阻，甚至影响您后续的工伤赔偿申请。
工伤赔偿主体：
- 根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤赔偿应由您的用人单位（即原公司）承担。若您签署了子公司的兼职合同，子公司可能主张其并非您的用人单位，从而拒绝承担工伤赔偿责任。
- 这将使您陷入复杂的法律纠纷中，增加维权难度和成本。
二、对合同效力的考量
合同真实性及目的：
- 您需要仔细审查兼职合同的内容，确认其是否真实反映了您的意愿和实际情况。有些公司可能通过签署兼职合同来规避工伤赔偿责任，这种合同可能存在欺诈或胁迫的成分。
- 若您认为合同存在不公平或违法条款，有权拒绝签署，并可以向劳动监察部门投诉。
合同与工伤的关联性：
- 兼职合同应明确约定您的工作内容、工作时间、工作地点及薪酬等条款。若合同内容与您的工伤情况无直接关联，或试图通过合同条款来限制您的工伤权益，则该合同可能对您不利。
- 您应确保合同不会损害您在工伤期间的合法权益，如医疗费、停工留薪期工资等。
三、法律建议及行动指南
咨询专业意见：
- 在签署任何合同之前，建议您先咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况和合同内容，为您提供针对性的法律建议。
保留证据：
- 若您决定拒绝签署兼职合同，或认为合同存在不公平条款，请务必保留好相关证据，如公司要求签署合同的通知、合同文本等。这些证据将有助于您在后续的法律纠纷中维护自己的权益。
关注工伤流程：
- 在工伤期间，您应密切关注工伤认定和赔偿的流程。及时向劳动保障部门提交工伤认定申请，并按照要求提供相关证据和材料。
- 若您在工伤期间遇到任何问题或困难，如公司拒绝支付医疗费、停工留薪期工资等，请及时向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。
总结：在工伤期间，公司要求您签订子公司的兼职合同可能对您的工伤流程及后续赔偿产生不利影响。因此，不建议您轻易签署此类合同。若您对合同内容或工伤流程有任何疑问或担忧，请及时咨询专业律师的意见，并保留好相关证据以维护自己的合法权益。