劳务合同和兼职协议下，工作期间受伤公司是否承担责任需根据具体情况判断。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务合同下的责任承担
劳动关系认定：
- 如果劳务合同被认定为劳动关系（即使是非全日制用工），那么根据《工伤保险条例》等相关法律法规，员工在工作中受伤应被认定为工伤。
- 在此情况下，公司需承担工伤保险责任，包括支付医疗费用、停工留薪期工资、伤残津贴、一次性伤残补助金等。
公司过错与责任减轻：
- 若受伤是员工自身故意或重大过失造成的，例如故意违反操作规程，公司可适当减轻责任。但公司仍需承担部分责任，如支付必要的医疗费用等。
二、兼职协议下的责任承担
雇佣关系认定：
- 如果兼职协议被认定为雇佣关系（即个人之间的劳务关系），那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。
- 在此情况下，如果公司（作为接受劳务一方）存在过错（如未提供必要的安全保障措施、指示不当等），则应承担相应的赔偿责任。
安全保障义务：
- 无论是否存在劳动关系或雇佣关系，公司都有义务为员工或兼职人员提供必要的安全保障措施和工作环境。
- 如果因公司未尽到安全保障义务而导致员工或兼职人员受伤，那么公司也应承担相应的责任。
三、具体责任划分与法律依据
个人责任：
- 如果员工或兼职人员在工作中因自身疏忽、违规操作或故意行为导致受伤，那么个人可能需要承担一定的责任。
公司责任：
- 在劳动关系下，公司需承担工伤保险责任。
- 在雇佣关系下，公司仅在有过错时才承担相应责任。
第三方责任：
- 如果员工或兼职人员的受伤是由第三人的侵权行为导致的（如其他工作人员或外部人员的故意伤害），那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，第三人应承担侵权责任。
- 同时，员工或兼职人员也可以向公司请求赔偿（如果公司存在过错或未尽到安全保障义务），公司在承担赔偿责任后有权向第三人追偿。
四、建议与行动指南
及时收集证据：
- 受伤后，员工或兼职人员应及时收集相关证据，如工作证、聊天记录、医疗票据等，用以证明与公司的关系及受伤情况。
协商与纠纷解决：
- 若双方对赔偿事宜协商不一致，可通过劳动仲裁或诉讼途径来解决纠纷，以维护自身合法权益。
总结来看，劳务合同和兼职协议下工作期间受伤，公司的责任承担需根据具体情况判断。如果存在劳动关系且受伤属于工伤范畴，公司应承担相应责任；如果仅为劳务关系且公司存在过错，公司也应承担相应赔偿责任。有问题可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。