结论：劳务派遣公司和甲方没有合同却开票，这一行为是否违规需分情况讨论，但总体来说，这种行为存在较大的法律风险和不合规性。

分析：

1. 合同与开票的法律关系：

   • 在正常的商业交易中，合同是双方权利义务的约定，是交易的基础。开票则是交易完成后的一个环节，用于证明交易的发生和金额，同时也是税务管理的重要手段。
   • 合同与开票之间应当存在对应关系，即开票的内容、金额等应当与合同中的约定一致。

2. 没有合同却开票的情况：

   • 可能存在的风险：如果劳务派遣公司和甲方没有签订合同却开票，这可能意味着双方没有明确的权利义务约定，或者存在规避合同监管、税务监管的嫌疑。这种行为可能违反《中华人民共和国合同法》（现《中华人民共和国民法典》合同编）中关于合同订立和履行的规定，也可能违反税务管理方面的法律法规。
   • 具体违规情形：
     • 税务违规：没有合同作为交易依据，开票可能被视为虚开发票，违反《中华人民共和国发票管理办法》中关于发票开具的规定，可能面临税务处罚。
     • 合同违规：如果双方实际上存在劳务派遣关系，但未签订书面合同，这可能违反《中华人民共和国劳动合同法》中关于劳务派遣协议的规定，即劳务派遣单位应当与接受以劳务派遣形式用工的单位订立劳务派遣协议。

3. 不同情况下的法律后果：

   • 如果双方确实存在劳务派遣关系：
     • 劳务派遣公司应尽快与甲方补签劳务派遣协议，明确双方的权利义务。
     • 对于已经开具的发票，如果与实际交易相符，且符合税务规定，可能不需要进行特别处理；但如果存在不符或违规情况，应及时更正或接受税务处罚。
   • 如果双方不存在劳务派遣关系：
     • 劳务派遣公司开具的发票可能被视为虚开发票，面临税务处罚，包括罚款、没收违法所得等。
     • 如果涉及金额较大或情节严重，还可能构成犯罪，依法追究刑事责任。

建议：

• 劳务派遣公司应严格遵守相关法律法规，与甲方签订书面劳务派遣协议，明确双方的权利义务。
• 在开具发票时，应确保发票内容、金额等与合同约定一致，避免虚开发票等违规行为。
• 如果已经存在没有合同却开票的情况，应尽快与甲方沟通补签合同或更正发票，以降低法律风险。

后续行动：

• 如果您是劳务派遣公司或甲方的相关人员，且面临此类问题，建议立即审查相关合同和发票情况，评估法律风险。
• 如有需要，可以进一步向我咨询具体的法律解决方案和应对策略。