结论：在烤肉店未签订合同的情况下发生烫伤事故，赔偿问题需根据具体情况分析，主要涉及侵权责任和可能的合同关系推定。以下从不同角度为你详细解答：
一、侵权责任角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”在烤肉店烫伤事故中，如果店家未尽到安全保障义务（如地面湿滑未及时清理、热源未妥善隔离等），导致顾客烫伤，店家应承担侵权责任。
赔偿范围：
- 赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
举证责任：
- 顾客需证明店家存在过错（如未尽到安全保障义务）以及该过错与烫伤事故之间存在因果关系。店家则可能通过提供监控录像、安全检查记录等证据来反驳顾客的指控。
二、合同关系推定角度
事实合同关系：
- 尽管双方未签订书面合同，但根据《中华人民共和国民法典》第四百六十九条：“当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。”在烤肉店消费过程中，顾客与店家之间实际上形成了一种事实上的服务合同关系。店家有义务提供安全、符合标准的消费环境。
违约责任：
- 如果店家违反了合同中的默示义务（如提供安全的消费环境），导致顾客烫伤，店家也可能承担违约责任。不过，在侵权责任与违约责任竞合的情况下，顾客通常只能选择其中一种责任进行追究。
三、实际操作建议
收集证据：
- 顾客应尽快收集相关证据，包括现场照片、视频、医疗记录、证人证言等，以证明店家存在过错以及烫伤事故与店家行为之间的因果关系。
协商与调解：
- 在证据充分的情况下，顾客可以尝试与店家进行协商或请求第三方调解机构进行调解，以达成赔偿协议。
法律途径：
- 如果协商和调解无果，顾客可以向人民法院提起诉讼，要求店家承担侵权责任或违约责任。在诉讼过程中，顾客需按照法院的要求提交证据、参加庭审等。
进一步思考：在处理此类纠纷时，除了考虑法律责任外，还应关注双方的实际损失和赔偿能力。如果店家确实存在经济困难或赔偿能力有限，顾客可以在法律允许的范围内适当调整赔偿要求，以促成纠纷的妥善解决。同时，对于店家而言，加强安全管理、提高员工安全意识也是预防类似事故再次发生的关键。
最后，如果你或他人遇到了类似的情况，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。