公司若因未与员工签订劳动合同、未购买社保被仲裁败诉后，可通过向法院提起诉讼的方式申请“上诉”（法律上称为“起诉”），但需满足法定条件并承担举证责任。以下是具体分析：

1. 仲裁与诉讼的关系：仲裁是前置程序，诉讼是救济途径

• 根据《劳动争议调解仲裁法》，劳动争议需先申请仲裁，对仲裁结果不服的（除终局裁决外），公司或员工均可在15日内向法院起诉。这里的“上诉”在法律术语中实际是“起诉”，因为仲裁并非诉讼程序，不存在“上诉”一说。
• 关键点：若仲裁裁决已生效（公司未在15日内起诉），则公司需履行裁决内容（如支付双倍工资、补缴社保等），否则员工可申请强制执行。

2. 公司起诉的法定理由

公司若认为仲裁裁决存在以下情形，可向法院起诉：

• 事实认定错误：如仲裁委未认定公司已与员工签订合同（需提供合同文本、签字记录等证据）；
• 法律适用错误：如错误认定未签合同的双倍工资计算方式、社保补缴基数等；
• 程序违法：如仲裁委未依法送达文书、超期裁决等。
• 关键证据：公司需提供反证（如员工自愿放弃社保的声明、合同签订流程记录等），但需注意“员工自愿放弃社保”的约定因违反法律强制性规定而无效，公司仍需补缴。

3. 诉讼风险与建议

• 风险：若公司无法提供充分证据推翻仲裁裁决，法院可能维持原判，公司需承担诉讼费及可能的加倍赔偿（如恶意拖欠工资）。
• 建议：
  1. 自查合规漏洞：立即与员工补签劳动合同、补缴社保（可协商分期补缴），降低后续风险；
  2. 收集证据：整理工资发放记录、考勤记录、工作安排等，证明劳动关系存在及公司管理合规性；
  3. 咨询专业律师：劳动争议涉及证据规则、时效计算等复杂问题，需律师协助制定诉讼策略。

4. 员工应对措施

若公司起诉，员工需：

• 积极应诉：提交仲裁阶段的证据（如未签合同证明、工资流水等），并可补充新证据（如公司继续未缴社保的记录）；
• 主张权益：除双倍工资、经济补偿外，可要求公司支付诉讼期间的工资损失（若未解除劳动关系）。

总结：公司可通过起诉撤销或变更仲裁裁决，但需承担举证责任。建议公司优先协商解决，若必须诉讼，务必在律师指导下准备证据。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。