结论：根据您描述的情况，在单位工作了六年，签过两次合同后今年又签了新合同且为无固定期限合同，您确实属于长期正式员工。
分析说明：
无固定期限合同定义：
- 无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。这种合同形式意味着，除非双方协商一致或者出现法定解除情形，否则合同将一直有效，劳动者可以长期在该单位工作。
签订无固定期限合同的条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，或者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。
- 在您的情况下，已经在单位工作了六年，且签过两次固定期限合同，今年又签订了无固定期限合同，这完全符合签订无固定期限合同的条件。
长期正式员工的身份认定：
- 签订无固定期限合同的员工，通常被视为单位的长期正式员工。这是因为无固定期限合同为劳动者提供了相对稳定的工作保障，也体现了用人单位对劳动者长期工作的认可和信任。
后续建议与注意事项：
- 权益保护：作为长期正式员工，您享有更稳定的职业保障和更全面的福利待遇。如果单位违反劳动合同法的规定，如无故解除合同、拖欠工资等，您有权依法维护自己的合法权益。
- 合同续签与变更：虽然无固定期限合同没有确定的终止时间，但双方仍然可以协商一致变更合同内容或者续签合同。在续签或变更合同时，建议您仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。
- 离职与补偿：如果您因个人原因或单位原因需要离职，应当提前与单位协商并办理相关手续。在符合法定条件的情况下，您还有权获得相应的经济补偿。
特殊场景提醒：
- 如果单位在您符合签订无固定期限合同条件的情况下，仍然坚持与您签订固定期限合同，您有权拒绝并要求签订无固定期限合同。如果单位因此解除与您的劳动合同，您有权依法主张赔偿。
行动建议：
- 如有任何关于劳动合同、工伤赔偿等劳动纠纷方面的问题或疑虑，欢迎随时向我咨询。我会根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。