结论：餐饮店在清明节和五一劳动节不给员工补休且不支付加班费的行为，可能违反了我国劳动法的相关规定。员工有权要求餐饮店支付加班费或安排补休，若餐饮店拒绝，员工可以通过法律途径维护自己的合法权益。
法律背景与解释：
加班费支付规定：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第四十四条的规定，法定休假日安排劳动者工作的，支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。清明节和五一劳动节均属于法定休假日，因此，如果餐饮店在这些节日安排员工工作，应当支付不低于工资百分之三百的加班费。
补休安排：
- 虽然《劳动法》第四十四条也提到了休息日安排劳动者工作又不能安排补休的，支付不低于工资的百分之二百的工资报酬。但这一条款主要针对的是休息日，而非法定休假日。对于法定休假日，法律并未规定可以安排补休来替代加班费支付。因此，餐饮店不能仅通过安排补休来规避支付法定休假日的加班费。
法律建议：
与餐饮店协商：
- 首先，员工可以尝试与餐饮店进行协商，明确表达自己的诉求，即要求支付法定休假日的加班费或安排补休（尽管对于法定休假日，补休并非法定要求，但可以作为协商的一个方面）。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动监察部门投诉，提供相关证据（如工作记录、工资单等），要求劳动监察部门介入调查并处理。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如果劳动监察部门的处理结果不满意，员工还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
可能的法律后果：
- 如果餐饮店被认定存在违法行为，可能需要支付员工应得的加班费，并可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款等。
- 对于员工而言，如果通过法律途径成功维权，不仅可以获得应得的加班费，还可能对餐饮店形成一定的法律震慑，促使其今后遵守劳动法律法规。
进一步思考：
- 员工在维权过程中，应注意保留好相关证据，如工作记录、工资单、与餐饮店的沟通记录等，以便在需要时提供证明。
- 同时，员工也应了解自己的法律权益和维权途径，以便在遇到类似情况时能够及时、有效地维护自己的合法权益。
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