结论：员工处理客诉后，顾客要求公示处罚的合法性需分情况讨论，主要取决于处罚的性质、依据以及公示的方式和范围。

1. 若处罚为员工内部纪律处分：

   • 合法性分析：员工因处理客诉不当而受到公司内部的纪律处分（如警告、罚款、降职等），这属于公司内部管理范畴。公司有权根据内部规章制度对员工进行处罚，但这种处罚通常不需要也不应该向外部公示，尤其是向顾客公示。因为这可能侵犯员工的隐私权，且不符合公司内部管理的一般原则。
   • 建议：公司应妥善处理内部纪律处分，避免将处罚细节泄露给外部，以保护员工隐私和公司形象。若顾客坚持要求公示，公司可以解释这是内部管理事务，不便对外公布。

2. 若处罚涉及违法行为或严重失职：

   • 合法性分析：如果员工在处理客诉过程中存在违法行为（如欺诈、暴力等）或严重失职行为，且这些行为已经或可能对公司或顾客造成重大损失，那么公司可能需要根据相关法律法规或合同约定对员工进行处罚，并在一定范围内公示处罚结果。但公示的范围和方式需严格遵守法律法规，避免侵犯员工合法权益。
   • 建议：在公示前，公司应确保处罚决定已经依法作出，并咨询法律意见以确定公示的合法性和适当性。公示时，应仅公布必要的信息，避免泄露员工个人隐私。

3. 若顾客要求公示出于监督或维权目的：

   • 合法性分析：顾客可能希望公示处罚以监督公司处理客诉的公正性或维护自身权益。然而，这种要求并不直接赋予顾客公示处罚的合法权利。除非公司自愿接受监督并同意公示，或者法律法规有明确规定，否则顾客无权要求公司公示处罚。
   • 建议：公司可以与顾客沟通，解释处罚的内部性和隐私性，同时提供其他方式来满足顾客的监督或维权需求，如提供投诉渠道、定期公布客诉处理情况等。

4. 公示方式和范围的合法性：

   • 合法性分析：即使公司决定公示处罚，也需确保公示的方式和范围合法。公示不得侵犯员工的名誉权、隐私权等合法权益，也不得违反相关法律法规或行业规范。
   • 建议：公司在公示前应仔细审查公示内容，确保不包含任何违法或侵犯员工权益的信息。同时，应选择合适的公示渠道和范围，避免对员工造成不必要的负面影响。

总结与进一步思考：员工处理客诉后，顾客要求公示处罚的合法性并非绝对，而是取决于多种因素。公司应谨慎处理此类要求，确保在维护顾客权益的同时，也保护员工的合法权益。若公司对此类问题存在疑问或需要进一步的法律指导，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见。