在处理顾客投诉并涉及要求开除员工的情况时，公司必须采取谨慎且合法的态度。以下是我为您详细梳理的处理流程和建议：

一、初步评估投诉情况

首先，公司需要对顾客的投诉进行初步评估，了解投诉的具体内容、性质以及可能的影响。这包括核实投诉的事实依据，判断员工是否存在违规行为，以及该行为是否对公司声誉或利益造成了实质性损害。

二、参考公司规章制度

接下来，公司应参考其内部的规章制度，特别是关于员工行为规范、客户投诉处理以及违纪处罚等方面的规定。如果规章制度中明确规定了某些客户投诉行为属于严重违纪，并且这些规定已经向员工进行了公示或告知，那么在员工确实违反这些规定的情况下，公司有权依据规章制度进行开除处理。

三、遵循相关法律法规

在决定是否开除员工时，公司必须严格遵循《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规。根据法律规定，只有在员工严重违反用人单位的规章制度，或者严重失职、营私舞弊、给用人单位造成重大损害等情况下，用人单位才可以解除劳动合同。因此，公司需要确保开除员工的决定符合法律规定的情形，避免违法辞退的风险。

四、深入调查与核实

在做出开除决定之前，公司应进行深入调查和核实，确保投诉事实的真实性和准确性。这包括与顾客、员工以及其他相关人员进行沟通，收集证据材料，并进行综合分析判断。如果投诉事由不成立或轻微，或者员工已经积极补救且情节轻微，公司通常不应辞退员工。

五、考虑员工表现与历史记录

除了当前的投诉情况外，公司还应考虑员工的历史表现和工作记录。如果员工平时表现良好，且此次投诉属于个别情况或轻微失误，公司可以考虑给予警告、培训或其他纠正措施，而不是直接开除。然而，如果员工存在多次投诉且屡教不改的情况，公司则需要考虑采取更严厉的措施。

六、合法辞退与后续处理

如果公司决定开除员工，必须确保辞退决定的合法性和合理性。这包括向员工说明辞退原因、依据以及相关法律法规的规定，并办理离职手续和结算工资等事宜。同时，公司还应考虑如何向顾客解释和处理投诉，以维护公司声誉和客户关系。

七、寻求法律救济与预防措施

如果公司与员工在辞退问题上存在争议，可以寻求法律救济途径，如向劳动争议调解委员会申请调解或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。此外，公司还应加强员工培训和管理，完善规章制度和投诉处理机制，以预防类似问题的再次发生。

综上所述，公司在处理顾客投诉并涉及要求开除员工的情况时，应综合考虑多个因素并确保决策既合法又合理。通过初步评估、参考规章制度、遵循法律法规、深入调查与核实、考虑员工表现与历史记录、合法辞退与后续处理以及寻求法律救济与预防措施等步骤，公司可以妥善处理此类问题并维护自身权益。