私人雇佣发生工伤，雇主和雇员均有权依法主张权利或承担相应责任，具体处理方式需结合雇佣关系性质、伤情程度及证据情况综合判断。以下从不同角度展开说明：

1. 先明确“私人雇佣”的法律性质

私人雇佣通常指个人与个人之间形成的劳务关系（如家政、装修、临时用工等），与《劳动合同法》调整的“劳动关系”不同。根据《民法典》第1192条，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担责任。

• 若雇主无过错（如已提供安全环境、工具，雇员因自身操作失误受伤）：雇主可能仅需承担“公平责任”（即适当补偿，非强制赔偿）；
  
• 若雇主有过错（如未提供安全设备、强令冒险作业）：雇主需按过错比例赔偿医疗费、误工费、护理费等损失；
  
• 若雇员故意或重大过失（如自残、违规操作）：雇主可减轻或免除责任。

2. 关键步骤：固定证据+协商/诉讼

• 证据收集：
  
  • 证明雇佣关系：如聊天记录、转账记录、证人证言、工作现场照片等；
    
  • 证明工伤事实：如医疗记录、诊断证明、事故现场视频或照片；
    
  • 证明损失金额：如医疗费发票、误工证明（工资流水）、护理费收据等。
    
• 协商解决：优先与雇主沟通，明确责任比例和赔偿金额（可参考《人身损害赔偿司法解释》中关于误工费、护理费等标准）；
  
• 诉讼途径：若协商无果，可向法院起诉，主张医疗费、误工费、残疾赔偿金（若构成伤残）等。注意诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起计算。

3. 特殊情形：是否构成“事实劳动关系”？

若私人雇佣符合以下特征，可能被认定为“事实劳动关系”（受《工伤保险条例》保护）：

• 雇主长期、稳定用工；
  
• 雇员接受雇主管理（如考勤、工作安排）；
  
• 报酬按月支付且金额固定。
  此时雇员可申请工伤认定，要求雇主按工伤保险待遇赔偿（如一次性伤残补助金、医疗费等）。但实践中，私人雇佣被认定为劳动关系的案例较少，需结合具体证据判断。

4. 给雇主和雇员的实务建议

• 对雇主：
  
  • 签订书面协议，明确工作内容、报酬、安全责任等；
    
  • 为雇员购买短期意外险（成本低，可转移部分风险）；
    
  • 发生事故后，及时送医并保留证据，避免直接否认责任。
    
• 对雇员：
  
  • 保留所有与工作相关的证据；
    
  • 优先协商，协商不成及时起诉（避免证据灭失）；
    
  • 若伤情严重，可申请司法鉴定（如伤残等级），作为赔偿依据。

总结：私人雇佣工伤的处理需先判断法律关系性质，再根据过错或工伤认定主张权利。建议双方在事故发生后冷静沟通，固定证据，必要时通过法律途径解决。若有具体细节（如伤情、证据情况等），可进一步向我咨询，我会结合案例为您详细分析。