当公司发生意外导致一人死亡时，这是一个非常严重的事件，公司需要承担多方面的法律责任。以下是对此问题的详细解答：
一、刑事责任
重大责任事故罪：
- 如果事故是由于在生产、作业中违反安全管理规定直接导致的，公司或相关责任人员可能构成重大责任事故罪。根据《中华人民共和国刑法》第一百三十四条，这将面临三年以下有期徒刑或者拘役；情节特别恶劣的，处三年以上七年以下有期徒刑。
重大劳动安全事故罪：
- 如果事故是由于公司的安全生产设施或条件不符合国家规定而引发的，对直接负责的主管人员和其他直接责任人员，可能构成重大劳动安全事故罪。根据《中华人民共和国刑法》第一百三十五条，同样将面临三年以下有期徒刑或者拘役；情节特别恶劣的，处三年以上七年以下有期徒刑。
二、行政责任
- 根据《生产安全事故报告和调查处理条例》，对于发生一人死亡的安全事故，公司可能面临20万元以上50万元以下的罚款。
- 同时，如果公司的主要负责人未依法履行安全生产管理职责，导致事故发生，还将面临撤职处分，并可能构成犯罪被追究刑事责任。此外，还可能面临五年内不得担任生产经营单位主要负责人的限制，以及上一年年收入30%的罚款。
三、民事责任
- 无论公司是否构成犯罪，都需要对死者家属承担民事赔偿责任。赔偿范围通常包括丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等。具体标准将依据受诉法院所在地的相关统计数据来计算。
四、事故处理流程
- 立即报告：事故发生后，公司应立即向当地的安全生产监督管理部门和相关部门报告，并启动应急预案。
- 保护现场：确保事故现场不受破坏，保留所有与事故有关的物品、痕迹和资料。
- 配合调查：积极配合政府组织的事故调查组进行调查，如实提供事故相关情况和资料。
- 处理善后：及时与死者家属取得联系，表达慰问和哀悼，并依法承担经济赔偿责任。
- 整改预防：针对事故原因和暴露出的问题，开展全面的安全隐患排查，制定整改方案，并加强员工的安全教育培训。
五、建议与措施
- 加强安全管理：公司应严格遵守安全管理规定，确保安全生产设施及条件符合国家标准。
- 完善安全制度：建立健全的安全生产规章制度和操作规程，明确各级人员的安全职责。
- 提高安全意识：加强员工的安全教育培训，提高员工的安全意识和操作技能。
- 加大安全投入：提高企业的安全生产水平，确保有足够的安全投入来支持安全管理和隐患排查工作。
综上所述，公司在发生意外导致一人死亡时，将面临刑事责任、行政责任和民事责任的多重追究。因此，公司必须高度重视安全生产管理，加强安全制度建设，提高员工的安全意识，以防止类似事故的再次发生。在遇到此类问题时，也建议公司及时咨询专业的法律人士以获取准确的法律意见和帮助。