核心结论：没有商标、没有注册的单位，其员工受伤后依然可以做工伤鉴定，但需要先确认与单位之间存在事实劳动关系，之后按照法定程序申请工伤认定和劳动能力鉴定。以下是详细说明：

确认事实劳动关系

1. 法律依据
   • 根据《工伤保险条例》规定，中华人民共和国境内的企业、事业单位、社会团体、民办非企业单位、基金会、律师事务所、会计师事务所等组织和有雇工的个体工商户（以下称用人单位）应当依照本条例规定参加工伤保险，为本单位全部职工或者雇工（以下称职工）缴纳工伤保险费。这里并没有要求单位必须有商标或者完成注册登记等特殊条件，只要存在实际用工关系，就受相关劳动法律法规调整。
   • 事实劳动关系是指用人单位与劳动者没有订立书面合同，但双方实际履行了劳动权利义务而形成的劳动关系。判断是否存在事实劳动关系，主要看劳动者是否实际接受用人单位的管理、指挥或者监督，劳动者提供的劳动是否是用人单位业务的组成部分，用人单位是否向劳动者提供基本劳动条件以及向劳动者支付报酬等因素。
2. 证据收集
   • 工资支付凭证或记录：如工资条、银行转账记录等，这能证明单位向劳动者支付了劳动报酬。
   • 工作证、服务证等：这些证件可以表明劳动者在单位的工作身份。
   • 考勤记录：包括打卡记录、签到表等，能证明劳动者在单位的工作时间和出勤情况。
   • 招工招聘登记表、报名表等招用记录：这些记录可以显示劳动者进入单位工作的过程。
   • 同事证言：其他同事的证言也可以作为证明存在劳动关系的证据。

申请工伤认定

1. 申请主体
   • 用人单位：在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，用人单位应当向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 工伤职工或者其近亲属、工会组织：如果用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
2. 申请材料
   • 工伤认定申请表：需要详细填写事故发生的时间、地点、原因以及职工伤害程度等基本情况。
   • 与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料：即前面提到的收集的各类证据。
   • 医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）：这是证明职工受伤情况的重要依据。

劳动能力鉴定

1. 鉴定时机
   • 职工发生工伤，经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应当进行劳动能力鉴定。一般来说，伤情稳定是指医疗终结，即临床医学一般原则所承认的临床效果稳定。
2. 鉴定申请
   • 由用人单位、工伤职工或者其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和职工工伤医疗的有关资料。
3. 鉴定内容
   • 劳动能力鉴定包括劳动功能障碍程度和生活自理障碍程度的等级鉴定。劳动功能障碍分为十个伤残等级，最重的为一级，最轻的为十级；生活自理障碍分为三个等级，分别是生活完全不能自理、生活大部分不能自理和生活部分不能自理。

如果在工伤认定和劳动能力鉴定过程中遇到问题，比如单位不配合、对鉴定结果有异议等，都可以进一步向我咨询。