结论：针对您在厂里工作半年后生病住院，出院后厂里要求离职的情况，这可能涉及违法解除劳动合同的问题，您有权要求厂里继续履行合同或支付赔偿金。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律背景与规定
劳动合同的解除：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者解除劳动合同，必须符合法定条件，并遵循法定程序。
- 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。
医疗期的规定：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期的具体长度根据劳动者实际工作年限和在本单位工作年限确定，一般为三个月到二十四个月。
二、针对您情况的具体分析
如果医疗期未满：
- 如果您还在医疗期内，厂里要求您离职是违法的。您有权拒绝离职，并要求厂里继续履行劳动合同，支付病假工资等。
- 如果厂里坚持要求离职，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求厂里支付违法解除劳动合同的赔偿金。
如果医疗期已满：
- 如果医疗期已满，但您仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，厂里可以提前三十日以书面形式通知您本人或者额外支付您一个月工资后，解除劳动合同。
- 但即使如此，厂里也需要按照您在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。
- 如果您认为厂里解除劳动合同的理由不充分或程序不合法，您仍然可以申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
三、建议与行动
收集证据：
- 保留好您的病历、医疗期证明、劳动合同等证据材料，以备不时之需。
与厂里协商：
- 尝试与厂里进行友好协商，了解他们要求离职的具体原因，并表达您的诉求和立场。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者咨询专业律师（如我），了解具体的法律程序和维权策略。
- 申请劳动仲裁是维护自己合法权益的有效途径，您可以根据仲裁结果决定是否进一步采取法律行动。
四、可能的法律后果
如果厂里违法解除劳动合同：
- 您有权要求厂里继续履行劳动合同，或者支付违法解除劳动合同的赔偿金。
- 赔偿金的标准一般为经济补偿的两倍，即按照您在本单位的工作年限，每满一年支付两个月工资的标准。
如果厂里合法解除劳动合同：
- 您仍然有权获得经济补偿，补偿标准按照您在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准。
最后，我理解您现在可能面临很大的压力和困惑，但请相信法律是公正的，您的权益会得到保护。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询，我会尽我所能为您提供专业的法律支持。