结论前置：退休后留用但未签合同的情况下，用人单位并不能随意辞退员工，否则可能面临法律责任。
详细分析：
退休后留用的法律性质：
- 退休后留用，通常指的是员工达到法定退休年龄并办理退休手续后，因工作需要或个人意愿，继续被原单位或其他单位聘用的情况。
- 在这种情况下，员工与用人单位之间的关系可能不再受《劳动法》或《劳动合同法》中关于劳动合同期限、解除劳动合同等条款的严格约束，但这并不意味着用人单位可以随意辞退员工。
未签合同的影响：
- 即使未签订书面劳动合同，如果双方实际存在劳动关系，那么仍然受到《劳动法》和《劳动合同法》等法律法规的保护。
- 未签合同可能导致双方在权益保障、责任划分等方面存在不确定性，但并不影响劳动关系的实际存在。
辞退的合法性：
- 用人单位辞退员工必须基于合法、合理的理由，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等，并且需要遵循法定的程序和条件。
- 在退休后留用的情况下，如果用人单位没有合法、合理的理由，或者未遵循法定程序和条件，就随意辞退员工，那么可能构成违法解除劳动关系。
法律责任：
- 如果用人单位违法解除劳动关系，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同或者支付赔偿金。
- 赔偿金的计算通常根据员工在用人单位的工作年限、工资水平等因素确定，具体标准可参照《劳动合同法》的相关规定。
建议与行动：
- 对于员工：如果遭遇用人单位随意辞退的情况，可以收集相关证据（如工作记录、工资单、同事证言等），向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
- 对于用人单位：在辞退退休后留用的员工时，务必确保有合法、合理的理由，并遵循法定程序和条件，以避免不必要的法律纠纷和损失。
进一步思考：
- 退休后留用的情况在现实中较为复杂，可能涉及多种法律关系和权益保障问题。因此，在处理此类问题时，建议双方充分沟通、协商，并尽可能签订书面协议，明确双方的权利和义务。
- 如果对退休后留用的法律性质、辞退的合法性等方面存在疑问或争议，建议及时咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律意见和建议。
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