结论：民事诉讼再审被驳回后，当事人确实有权向上级检察院申请抗诉，但需满足一定条件并遵循特定程序。
一、申请抗诉的法律依据与条件
根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。若再审申请被驳回，当事人可以依据相关规定向人民检察院申请检察建议或者抗诉。申请抗诉通常需要满足以下条件之一：
- 原判决、裁定认定事实的主要证据不足：例如，关键证据缺失、证据之间存在矛盾无法合理解释等。
- 适用法律确有错误：如法律条款引用错误、法律解释不当等。
- 违反法定程序可能影响公正审判：如审判组织组成不合法、应当回避的审判人员未回避等。
- 审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为：这需要提供相应的证据或线索。
二、申请抗诉的程序
确定申请对象：
- 一般情况下，当事人应向作出生效判决、裁定的人民法院的同级人民检察院提出抗诉申请。但实践中，也可能存在向上一级检察院申请的情况，具体需根据当地司法实践和案件类型确定。例如，对于基层法院生效的裁判，虽然理论上应向基层检察院申请，但实践中多向市级检察院申请。
准备申请材料：
- 当事人需要准备抗诉申请书、身份证明、相关法律文书（如判决书、裁定书、再审裁定书等）以及证据材料等。抗诉申请书应详细阐述申请抗诉的理由和依据，并提供相应的证据支持。
提交申请并等待审查：
- 人民检察院应在三个月内对抗诉申请进行审查。审查过程中，检察院可能会要求当事人补充材料或进行进一步的调查核实。
- 如果检察院认为符合抗诉条件，会向法院提出抗诉；如果不符合条件，则会作出不予抗诉的决定，并告知当事人理由。
三、申请抗诉的期限与注意事项
申请抗诉的期限：
- 虽然法律没有明确规定申请抗诉的具体期限，但通常建议当事人在接到驳回裁定之日起六个月内提出抗诉申请。这一期限与当事人申请再审的期限相呼应，体现了法律对当事人权利救济的及时性和有效性要求。
注意事项：
- 当事人在申请抗诉时，应确保提供的材料真实、完整，并按照规定的格式和要求进行书写和提交。
- 当事人应密切关注检察院的审查进度和结果，并积极配合检察院的工作。如果检察院要求补充材料或进行进一步的调查核实，当事人应及时响应并提供协助。
四、实践中的建议
- 充分准备申请材料：确保申请内容的真实性和合法性，提高抗诉申请的成功率。
- 了解当地司法实践：由于地区和案件类型的差异，具体的抗诉申请流程可能会有所不同。因此，当事人在决定申请抗诉前，应仔细研究当地的司法实践和相关法律法规。
- 理性维权：尊重司法程序终局性，避免过度消耗司法资源。如果抗诉申请被驳回，当事人可以考虑其他合法途径来维护自己的权益，如通过信访反映程序违法问题（但需注意区分合法维权与滥用诉权）或探索行政救济等。
举例说明：假设某民事案件中，当事人因证据不足被法院驳回再审申请。但当事人认为原判决存在认定事实的主要证据不足的问题，且能够提供新的证据或线索来支持其观点。在这种情况下，当事人可以向作出生效判决的人民法院的同级人民检察院提出抗诉申请，并按照上述程序进行操作。如果检察院认为符合抗诉条件，会依法向法院提出抗诉，从而启动再审程序来纠正错误裁判。
总结：民事诉讼再审被驳回后，当事人有权向上级检察院申请抗诉，但需满足一定条件并遵循特定程序。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。