核心结论：公益岗员工合同到期但生病时，用人单位的处理方式需根据员工病情、医疗期规定及合同约定综合判断，具体分为以下两种情况：

1. 员工处于法定医疗期内

根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤需停止工作医疗时，用人单位需根据其实际工作年限和在本单位工作年限，给予3-24个月的医疗期。在此期间，用人单位不得解除劳动合同，且需按不低于当地最低工资标准的80%支付病假工资。

• 操作建议：
  • 用人单位应核实员工是否处于医疗期内（需提供医疗机构出具的病假证明）；
  • 若医疗期未满，合同到期应自动顺延至医疗期结束；
  • 医疗期满后，若员工仍无法从事原工作或另行安排的工作，用人单位可提前30日书面通知或支付代通知金后解除合同，并依法支付经济补偿。

2. 员工医疗期已满或未达医疗期标准

若员工病情未达到需长期休养的医疗期标准，或医疗期已满后仍无法胜任工作，用人单位可依法终止劳动合同，但需注意以下程序：

• 终止条件：

  • 医疗期满后，员工不能从事原工作，也不能从事用人单位另行安排的工作；
  • 用人单位需提前30日以书面形式通知员工，或额外支付1个月工资作为代通知金。

• 经济补偿：

  • 根据《劳动合同法》第46条，用人单位需按员工在本单位工作年限，每满1年支付1个月工资的经济补偿；
  • 若员工月工资高于当地上年度职工月平均工资3倍的，补偿标准按3倍封顶，且年限最高不超过12年。

补充说明

• 公益岗特殊性：若公益岗属于政府购买服务或特定政策性岗位，需同时遵守地方性法规或政策文件（如《公益性岗位开发管理办法》），部分地区可能对合同终止条件有额外限制（如优先续签、延长服务期等）。
• 证据留存：用人单位应要求员工提供完整医疗证明，并留存书面通知、经济补偿支付凭证等材料，以规避劳动争议风险。

建议：若涉及具体操作或争议，可进一步提供员工工龄、医疗期时长、地方政策等细节，以便针对性分析。