结论：主家雇主不可以随意辞退私人请的、没有签合同的保姆，辞退行为是否合法需根据具体情况判断。
分析如下：
一、法律关系认定
事实劳动关系：
- 即使没有签订书面合同，只要保姆实际提供了劳动，且主家雇主接受了这种劳动并支付了报酬，双方之间就形成了事实劳动关系。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位（在此情境下可类比为主家雇主）自用工之日起即与劳动者（保姆）建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。未签订书面合同的，不影响劳动关系的成立。
非劳动关系情形：
- 如果保姆的工作性质更偏向于临时性、一次性或家庭内部的帮助，且双方没有形成持续、稳定的劳动关系，那么可能不构成事实劳动关系，而更接近于劳务关系。
- 但在此类情况下，主家雇主仍需遵循诚实信用原则，不得随意辞退保姆，尤其是在保姆没有过错的情况下。
二、辞退行为的合法性
合法辞退：
- 如果保姆存在严重违反主家雇主规章制度、严重失职或营私舞弊给主家雇主造成重大损害等情形，主家雇主可以依据相关规定辞退保姆，且无需支付经济补偿。
- 但在此类情况下，主家雇主需要承担举证责任，证明保姆存在上述过错行为。
违法辞退：
- 如果保姆没有过错，或者主家雇主无法证明保姆存在过错行为，而随意辞退保姆，则构成违法辞退。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，违法辞退的，保姆有权要求主家雇主支付经济补偿或赔偿金。
三、建议与措施
签订书面合同：
- 为了避免类似纠纷的发生，建议主家雇主在与保姆建立劳动关系时，签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
依法辞退：
- 如果主家雇主确实需要辞退保姆，应当依据相关法律法规和合同约定进行，确保辞退行为的合法性。
- 在辞退前，建议与保姆进行充分沟通，说明辞退的原因和依据，并尽量达成一致意见。
寻求法律帮助：
- 如果主家雇主和保姆之间因辞退问题产生纠纷，且无法自行协商解决，建议寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
后续行动建议：如果您作为主家雇主，已经或计划辞退保姆，且担心辞退行为的合法性，或者保姆已经提出异议或要求赔偿，建议您直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议和解决方案。