结论：公司在劳动仲裁裁决书下达后，若认为裁决存在法定问题，确实有权向中级人民法院申请撤销。但这一申请必须基于明确的法定情形，并提供充分的证据支持。接下来，我将从多个角度详细分析这一问题。
一、公司申请撤销仲裁裁决的法定情形
公司申请撤销仲裁裁决，并非随意为之，而是必须基于以下六种法定情形之一：
适用法律、法规确有错误：比如，劳动仲裁在认定双方权利义务、确定赔偿标准等方面，错误地适用了劳动法律法规，导致裁决结果不公。
劳动争议仲裁委员会无管辖权：若仲裁委员会受理的案件不属于其法定管辖范围，公司可以此为由申请撤销裁决。
违反法定程序：这包括仲裁员未按照规定的仲裁程序进行审理，如未依法通知当事人参加庭审、剥夺当事人陈述辩论权利等。
裁决所根据的证据是伪造的：如果公司有确凿证据证明仲裁裁决所依据的关键证据是对方伪造的，那么裁决的合法性将受到质疑。
对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据：若对方故意隐瞒了重要证据，导致仲裁结果有失公正，公司同样有权申请撤销裁决。
仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为：仲裁员的违法违纪行为将严重影响裁决的公正性和权威性。
二、公司申请撤销的程序与审查
当公司决定申请撤销仲裁裁决时，应准备齐全相关证据材料，详细说明申请撤销的理由和依据。随后，中级人民法院将组成合议庭对申请进行审查核实。审查过程中，法院将仔细考量公司提出的理由是否成立，是否符合上述法定情形之一，以及提供的证据是否充分有力。
三、劳动者的应对策略
作为劳动者，如果面临公司申请撤销仲裁裁决的情况，应保持冷静并积极应对：
仔细研究公司申请撤销的理由和依据：判断其是否合理有据，是否属于上述法定情形之一。
准备相关证据：如果公司是无理申请，以拖延支付等为目的，劳动者应准备好相关证据，证明仲裁裁决的公正性和合法性。
寻求法律帮助：在此过程中，劳动者可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供准确的法律建议和诉讼策略，帮助劳动者更好地维护自己的合法权益。
四、可能的法律后果
如果公司申请撤销成功：仲裁裁决将被撤销，双方可能需要重新进行仲裁或诉讼，以解决劳动争议。
如果公司申请撤销被驳回：仲裁裁决将继续有效，公司应履行裁决中的义务，如支付赔偿金等。
综上所述，公司申请撤销劳动仲裁裁决书是一项严肃的法律程序，必须基于明确的法定情形并提供充分的证据支持。劳动者在面对此类情况时也应积极应对，确保自己的合法权益得到有效保障。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。