结论：针对公司采购和供应商口头商议回扣，全部付款后供应商不付的情况，公司可以通过收集证据、协商、投诉举报、民事诉讼或刑事控告等多种途径来维护自身权益。
详细分析：
收集证据：
- 尽管回扣的商议可能是口头的，但公司应尽可能收集与供应商之间的交易记录、付款凭证、沟通记录（如邮件、短信、微信等）等证据。这些证据将有助于证明公司与供应商之间存在交易关系，以及供应商未履行支付回扣的承诺。
协商解决：
- 在收集到一定证据后，公司可以尝试与供应商进行协商，要求其履行支付回扣的承诺。协商过程中，公司可以明确表达自己的立场和诉求，并尝试达成和解协议。
投诉举报：
- 如果协商无果，公司可以向相关监管部门（如市场监督管理局、税务局等）投诉举报供应商的不诚信行为。这些部门有权对供应商进行调查，并根据调查结果采取相应的行政处罚措施。
民事诉讼：
- 如果公司认为供应商的行为构成了违约或侵权，可以向法院提起民事诉讼，要求供应商支付回扣并承担违约责任或赔偿责任。在诉讼过程中，公司需要提供充分的证据来证明自己的主张。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
刑事控告：
- 如果供应商的行为涉嫌犯罪（如诈骗罪、职务侵占罪等），公司可以向公安机关报案，要求追究供应商的刑事责任。在报案时，公司需要提供充分的证据来证明供应商的犯罪行为。
- 特别提醒：需要注意的是，回扣行为本身可能涉及商业贿赂等违法行为，公司在追讨回扣的同时，也应确保自身行为的合法性，避免陷入法律风险。
后续行动建议：
- 在采取任何行动之前，公司应仔细评估自身行为的合法性和风险性，确保不会因追讨回扣而触犯法律。
- 如果公司对法律程序不熟悉或担心自身能力不足，可以寻求专业律师的帮助，以确保行动的合法性和有效性。
可能面临的法律后果：
- 如果公司能够成功证明供应商的违约或侵权行为，并获得法院的支持，供应商将需要支付回扣并承担相应的法律责任。
- 如果公司的行为本身存在违法性（如参与商业贿赂等），公司也可能面临法律制裁和声誉损失。
总结与启示：
- 公司在与供应商进行交易时，应尽可能签订书面合同，明确双方的权利和义务，以避免口头协议带来的法律风险。
- 公司应建立健全的内部控制制度，加强对采购和供应商管理的监督，防止类似事件的发生。
- 在遇到法律问题时，公司应及时寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到有效维护。
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