结论：在员工持有诊断证明书休息期间，公司一般不可以随意开除员工，否则可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。不过，也存在一些特殊情况，下面为你详细分析。

一般情况下公司不可随意开除

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。诊断证明书休息期间通常就属于这个规定的医疗期范畴。

例如，小张因生病住院，医院出具了诊断证明书，建议休息一个月。在这一个月的休息期间，小张所在的公司不能仅仅因为小张在休息就开除他。如果公司开除了小张，小张可以依据法律规定，向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司继续履行劳动合同或者支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的计算方式为：按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付一个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

特殊情况公司可以解除劳动合同

虽然一般情况下公司不能在员工休息期间开除员工，但也存在一些例外情形。如果员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，即使员工在休息期间，公司也可以解除劳动合同，且不需要支付经济补偿。这些情形包括：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的：比如公司规定试用期员工需要完成一定的业绩指标，而员工在试用期内因生病休息，未能达到该指标，且公司有证据证明该员工确实不符合录用条件，那么公司可以解除劳动合同。
2. 严重违反用人单位的规章制度的：例如公司的规章制度明确规定，员工连续旷工达到一定天数属于严重违反规章制度的行为，公司将予以开除。如果员工在休息期间，未经公司批准擅自离岗，且离岗天数达到了公司规章制度规定的严重违反规章制度的标准，那么公司可以解除劳动合同。
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：比如员工在工作中有重要的职责，因生病休息期间，其工作由其他同事代为处理，但该员工在休息前存在严重失职行为，导致公司遭受了重大经济损失，那么公司可以解除劳动合同。
4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：如果员工在休息期间，又到其他单位工作，且对原公司的工作任务造成了严重影响，或者原公司提出后，员工拒不改正，那么原公司可以解除劳动合同。
5. 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的：即员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效的，公司可以解除劳动合同。
6. 被依法追究刑事责任的：如果员工在休息期间被依法追究刑事责任，那么公司可以解除劳动合同。

给员工的建议

如果你正处于诊断证明书休息期间，担心公司会开除你，你可以采取以下措施：

1. 保留好诊断证明书等相关证据：这些证据可以证明你处于医疗期，公司不能随意解除劳动合同。
2. 遵守公司的规章制度：在休息期间，要按照公司的规定履行请假手续等相关义务，避免给公司留下可以解除劳动合同的把柄。
3. 及时与公司沟通：如果公司有开除你的意向，你可以与公司进行沟通，了解公司开除的原因，并依据法律规定维护自己的合法权益。

如果你还有其他关于劳动工伤（劳动仲裁）方面的问题，可以直接向我咨询。