派遣员工在同一家派遣公司工作16年被辞退，派遣公司是否需要补偿，这主要取决于辞退的原因和是否符合相关法律法规的规定。以下分情况讨论：
合法辞退且无需支付经济补偿的情况：
- 如果派遣员工存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，派遣公司有权依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但这种情况需要派遣公司有充分的证据证明员工的违规行为或失职行为，并且这些行为确实达到了法律规定的严重程度。
合法辞退但需要支付经济补偿的情况：
- 如果派遣公司因经营状况发生严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等客观经济情况发生重大变化，导致劳动合同无法履行，且派遣公司与员工协商未能就变更劳动合同内容达成协议，从而解除劳动合同的，派遣公司需要支付经济补偿。
- 经济补偿的计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资。其中，工作年限从员工入职派遣公司之日起计算，至劳动合同解除之日止；月工资是指员工在劳动合同解除前十二个月的平均工资。因此，如果派遣员工在同一家派遣公司工作了16年，那么经济补偿至少应为16个月的工资（具体数额还需根据月工资的实际数额来确定）。
违法辞退的情况：
- 如果派遣公司无正当理由辞退员工，或者辞退程序不符合法律法规的规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），则构成违法辞退。在这种情况下，派遣公司不仅需要支付经济补偿，还可能需要支付赔偿金。
- 赔偿金的数额通常为经济补偿的两倍，即赔偿金 = 2 × 经济补偿 = 2 × 工作年限 × 月工资。因此，如果派遣员工在同一家派遣公司工作了16年，且派遣公司构成违法辞退，那么赔偿金至少应为32个月的工资（具体数额还需根据月工资的实际数额来确定）。
建议：
- 对于派遣员工而言，如果遭遇辞退，应首先了解辞退的原因和派遣公司的辞退程序是否合法。如果认为派遣公司的辞退行为违法或不合理，可以与派遣公司进行协商，要求支付经济补偿或赔偿金。
- 如果协商无果，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，建议派遣员工保留好与派遣公司的劳动合同、工资单、辞退通知等相关证据，以便在需要时提供证明。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，上述分析仅供参考。如果你或你身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。