结论前置：
- 建设银行信用卡欠款6000元，银行在理论上有权起诉，但实际是否起诉需考虑多种因素。
- 若欠款行为被认定为信用卡诈骗罪，则可能面临刑事诉讼，但6000元一般不构成该罪。
详细分析：
一、民事起诉的可能性
起诉条件：
- 银行在持卡人未按照约定还款，且经催讨无果的情况下，有权向法院提起民事诉讼。这并不依赖于欠款的具体金额，而是基于持卡人是否履行了还款义务。
欠款金额与催收：
- 对于6000元的欠款，银行可能会先通过电话、短信等方式进行催收。如果持卡人积极回应并表现出还款意愿，银行可能会选择继续催收而非立即起诉。
- 如果持卡人长期拖欠不还，且经多次催收仍无效果，银行则可能会考虑通过法律途径追讨欠款。
建议行动：
- 持卡人应主动与银行沟通，说明自身情况，尝试协商还款计划。这不仅可以避免法律诉讼，还能维护良好的信用记录。
二、刑事立案的可能性
信用卡诈骗罪：
- 涉及信用卡欠款的刑事犯罪主要是信用卡诈骗罪。根据相关法律规定，持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，并经发卡银行两次有效催收后超过三个月仍不归还，数额在五万元以上的，才构成该罪。
- 因此，6000元的欠款一般不构成信用卡诈骗罪，银行不会因此向公安机关报案。
非法占有目的的认定：
- 即使欠款金额达到刑事立案标准，也需要认定持卡人具有“非法占有目的”。如果持卡人因突发重大疾病、失业等客观原因暂时无法还款，但有积极还款意愿和行动，通常不被认定为“以非法占有为目的”。
实际立案考量因素：
- 实际上是否会被刑事立案还需考虑银行的具体政策、持卡人的逾期情况、是否有还款意愿等多种因素。对于小额欠款，银行更倾向于通过民事诉讼或催收方式解决。
三、综合建议与提醒
及时沟通：
- 无论欠款金额多少，持卡人都应尽快与银行取得联系，明确自己的还款计划和意愿。这有助于避免银行采取更严厉的措施，如起诉或报案。
协商解决方案：
- 如果确实无法按时还款，持卡人应积极与银行协商制定合理的还款计划。银行可能会根据持卡人的实际情况给予一定的宽限期或减免部分费用。
法律风险意识：
- 持卡人应增强法律意识，了解相关法律法规，避免触犯法律底线。特别是要避免恶意透支、逃避催收等行为，这些行为可能构成信用卡诈骗罪或其他违法行为。
信用记录保护：
- 逾期还款会对个人信用记录产生负面影响，影响今后的贷款、信用卡申请等金融活动。因此，持卡人应尽力维护良好的信用记录，按时还款或积极协商还款计划。
总结：建设银行信用卡欠款6000元，银行在理论上有权起诉，但实际是否起诉需考虑多种因素。持卡人应主动与银行沟通协商还款计划，以避免法律纠纷和不良信用记录的产生。同时，持卡人应增强法律风险意识，了解相关法律法规，避免触犯法律底线。如果有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。