结论前置：欠信用卡6千元，存在被银行起诉的可能性，但具体是否起诉取决于多种因素。以下从不同角度为你详细分析：
一、银行起诉的可能性因素
欠款时间：
- 如果欠款时间较短，银行通常会先通过电话、短信等方式进行催收，此时被起诉的可能性相对较低。
- 若欠款时间较长，比如连续数月甚至更久未还款，银行可能会认为你存在恶意拖欠的嫌疑，从而增加起诉的风险。
还款态度：
- 如果你在逾期后积极与银行沟通，表达还款意愿，并尝试制定还款计划，银行可能会给予一定的宽限期，暂时不会起诉。
- 相反，如果你故意躲避催收，不接电话、不回信息或更改联系方式，银行可能会认为你恶意拖欠，进而选择法律途径追讨欠款。
银行内部政策：
- 不同银行对于信用卡欠款的处理政策和流程存在差异。有些银行可能对小额欠款也会积极采取起诉措施以维护信贷秩序；而有些银行则可能综合考虑起诉成本、客户关系等因素，对小额欠款采取更为宽容的态度，先进行一段时间的催收，当催收成本过高或效果不佳时才会选择起诉。
二、银行起诉的法律后果
民事诉讼：
- 如果银行决定起诉你，首先会进入民事诉讼程序。法院会根据双方提供的证据和法律规定，判决你在一定期限内偿还欠款本金、利息及滞纳金等费用。
- 若你拒不履行法院判决，银行可以申请强制执行。此时，法院可能会采取查封、扣押、冻结你的财产等措施，甚至将你列入失信被执行人名单，对你的日常生活和信用记录造成严重影响。
刑事诉讼（特定情况下）：
- 虽然欠6千元信用卡通常不会直接涉及刑事诉讼，但如果你存在恶意透支行为（即明知没有还款能力而大量透支，或肆意挥霍透支资金无法归还，或透支后逃匿、改变联系方式逃避银行催收等情形），且透支数额达到五万元以上（含五万元），则可能构成信用卡诈骗罪。不过，就你目前的欠款金额而言，这一风险相对较低，但仍需注意避免恶意透支行为。
三、应对建议
积极沟通：
- 建议你尽快与银行联系，说明你的实际情况和还款困难，表达还款意愿，并尝试协商制定合理的还款计划。这有助于减轻你的经济负担，并避免可能的法律后果。
寻求专业帮助：
- 如果你对如何与银行协商或制定还款计划感到困惑，可以寻求专业的法律帮助。我可以根据你的具体情况，为你提供更具针对性的建议和协助。
避免进一步恶化：
- 不要逃避催收或故意拖欠还款，这只会让问题变得更加复杂和严重。保持通讯畅通，积极与银行沟通，是解决问题的关键。
总结：欠信用卡6千元存在被银行起诉的可能性，但具体是否起诉取决于欠款时间、还款态度以及银行内部政策等多种因素。为避免不必要的法律风险和经济损失，建议你积极与银行沟通协商还款计划，并寻求专业的法律帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。