结论：信用卡欠款几千元，银行确实有权起诉，但是否会实际起诉取决于多种因素，包括欠款时间、还款态度、银行内部政策以及欠款金额等。为避免不利后果，建议尽快与银行协商还款。

详细分析：

1. 银行的法律权利：

   • 从法律层面讲，只要持卡人未按照信用卡领用合约的约定按时还款，无论欠款金额大小，银行都具备通过法律途径追讨欠款的权利。这包括向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，要求持卡人偿还欠款本金、利息及可能产生的滞纳金等费用。

2. 银行起诉的实际考量：

   • 欠款时间：若欠款时间较短，银行通常会先采取非诉讼方式（如电话、短信催收）进行催款。然而，若持卡人长期拖欠不还，特别是连续数月甚至半年以上未还款，银行起诉的可能性会显著增加。
   • 还款态度：持卡人的还款态度对银行是否起诉具有重要影响。若持卡人在逾期后积极与银行沟通，表达还款意愿，并尝试制定还款计划，银行可能会给予宽限期或采取其他更灵活的催收措施，而暂不起诉。相反，若持卡人拒绝联系、逃避还款责任，银行则可能更倾向于采取法律手段。
   • 银行内部政策：不同银行对于信用卡欠款的处理政策和流程存在差异。有些银行可能对小额欠款也会积极采取起诉措施以维护信贷秩序；而有些银行则可能综合考虑起诉成本、客户关系等因素，对小额欠款采取更为宽容的态度，先进行一段时间的催收，当催收成本过高或效果不佳时才会选择起诉。
   • 欠款金额：虽然欠款金额不是决定银行是否起诉的唯一因素，但通常而言，欠款金额越大，银行起诉的可能性越高。不过，这并不意味着几千元的小额欠款就一定不会被起诉，特别是在持卡人长期拖欠且还款态度恶劣的情况下。

3. 法律后果与建议：

   • 一旦被银行起诉，持卡人不仅需要偿还欠款本金、利息和滞纳金，还可能承担诉讼费用和其他相关费用。同时，个人信用记录也将受到严重影响，对未来申请贷款、办理信用卡等金融业务造成障碍。
   • 因此，无论信用卡欠款金额大小，持卡人都应积极与银行沟通协商，尽快还清欠款或制定可行的还款计划。保持积极的还款态度和良好的沟通是避免法律风险和经济损失的关键。

举例说明： 假设持卡人小李因疏忽导致信用卡欠款5000元，逾期已达三个月。在此期间，银行多次通过电话和短信进行催收，但小李因经济困难一直未能还款。此时，银行可能会考虑起诉小李以追讨欠款。然而，如果小李在逾期后积极与银行沟通，说明自己的经济状况，并尝试制定还款计划，银行可能会给予一定的宽限期或采取其他更灵活的催收措施。

进一步建议：

• 如果您目前面临信用卡欠款问题，建议尽快与银行联系，说明自己的还款意愿和困难，争取达成还款协议。
• 如果您已经收到银行的起诉通知，务必及时应诉，并积极与银行协商解决方案，以避免更严重的法律后果。

总之，信用卡欠款问题不容忽视，无论金额大小都应积极应对。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。